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| − | 사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합과 같다 | + | 사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합과 같다:<math>\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}</math> |
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| + | *<math>AC\cdot BD=\sin (\theta_1+\varphi_3) \sin (\varphi_1+\varphi_3) </math> | ||
| + | *<math>AB\cdot CD+BC\cdot AD=\sin \theta_1\sin \varphi_1+\sin \varphi_3\sin \theta_3 </math> | ||
| + | * 톨레미의 정리 :<math>\sin (\theta_1+\varphi_3) \sin (\varphi_1+\varphi_3)=\sin \theta_1\sin \varphi_1+\sin \varphi_3\sin \theta_3</math> | ||
| + | * <math>\theta_1+\varphi_3=\pi/2</math>이면,<math>\theta_3+\varphi_2=\theta_3+\varphi_1=\pi/2</math> 이다. | ||
| + | * 따라서 <math>\sin (\theta_1+\varphi_3)=1,\sin \theta_1=\cos \varphi_3, \sin \theta_3=\cos \varphi_1 </math> | ||
| + | * 톨레미의 정리로부터 다음을 얻는다:<math>\sin (\varphi_1+\varphi_3)= \sin \varphi_1\cos \varphi_3+\sin \varphi_3\cos \varphi_1</math> | ||
| + | * [[삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식]] | ||
* http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | * http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml | ||
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* [[삼각함수]] | * [[삼각함수]] | ||
| − | * [[ | + | * [[수학사 연표]] |
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* Apostol, Tom M. 1967. Ptolemy's Inequality and the Chordal Metric. Mathematics Magazine 40, no. 5 (November 1): 233-235. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/2688275 10.2307/2688275]. | * Apostol, Tom M. 1967. Ptolemy's Inequality and the Chordal Metric. Mathematics Magazine 40, no. 5 (November 1): 233-235. doi:[http://dx.doi.org/10.2307/2688275 10.2307/2688275]. | ||
* [http://hypertextbook.com/eworld/chords.shtml Ptolemy's Table of Chords Trigonometry in the Second Century] | * [http://hypertextbook.com/eworld/chords.shtml Ptolemy's Table of Chords Trigonometry in the Second Century] | ||
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| + | ==메타데이터== | ||
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q459547 Q459547] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'ptolemy'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'theorem'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:04 기준 최신판
개요
- 원에 내접하는 사각형의 변의 길이 사이의 관계
내접사각형에 대한 톨레미의 정리
(정리)
사각형이 원에 내접할때, 두 대각선의 길이의 곱은 서로 마주보고 있는 두 변의 쌍의 길이의 곱의 합과 같다\[\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}\]
삼각함수 덧셈공식의 유도
- \(AC=\sin (\theta_1+\varphi_3) \)
- \(BD=\sin (\varphi_1+\varphi_4)=\sin (\varphi_1+\varphi_3) \)
- \(AB=\sin \theta_1 \)
- \(CD=\sin \varphi_1 \)
- \(BC=\sin \varphi_3 \)
- \(AD=\sin \theta_3 \)
- \(AC\cdot BD=\sin (\theta_1+\varphi_3) \sin (\varphi_1+\varphi_3) \)
- \(AB\cdot CD+BC\cdot AD=\sin \theta_1\sin \varphi_1+\sin \varphi_3\sin \theta_3 \)
- 톨레미의 정리 \[\sin (\theta_1+\varphi_3) \sin (\varphi_1+\varphi_3)=\sin \theta_1\sin \varphi_1+\sin \varphi_3\sin \theta_3\]
- \(\theta_1+\varphi_3=\pi/2\)이면,\(\theta_3+\varphi_2=\theta_3+\varphi_1=\pi/2\) 이다.
- 따라서 \(\sin (\theta_1+\varphi_3)=1,\sin \theta_1=\cos \varphi_3, \sin \theta_3=\cos \varphi_1 \)
- 톨레미의 정리로부터 다음을 얻는다\[\sin (\varphi_1+\varphi_3)= \sin \varphi_1\cos \varphi_3+\sin \varphi_3\cos \varphi_1\]
- 삼각함수의 덧셈과 곱셈 공식
- http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml
메모
- http://www.maths.gla.ac.uk/~wws/cabripages/hyperbolic/ptolemyproof.html
- An analogue of Ptolemy's theorem and its converse in hyperbolic geometry. http://goo.gl/iupfB
재미있는 사실
- 톨레미 알마게스트의 사인표(정확히는 현의 길이) 계산에 이용됨
관련된 항목들
사전형태의 자료
관련도서
관련논문
- Guo, Ren, and Nilgün Sönmez. 2010. Cyclic polygons in classical geometry. 1009.2970 (September 15). http://arxiv.org/abs/1009.2970.
- Apostol, Tom M. 1967. Ptolemy's Inequality and the Chordal Metric. Mathematics Magazine 40, no. 5 (November 1): 233-235. doi:10.2307/2688275.
- Ptolemy's Table of Chords Trigonometry in the Second Century
메타데이터
위키데이터
- ID : Q459547
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'ptolemy'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'theorem'}]