"엡슈타인 제타함수"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 03:47 기준 최신판

개요

실해석적 아이젠슈타인 급수의 특수한 경우
라마누잔의 class invariants를 계산하는데 사용가능하며, 왜 실수이차체의 unit 이 등장하는지를 설명해줌

이차형식과 제타함수

\(\tau=x+iy\in \mathbb{C}\)에 대하여, \(|m\tau+n|^{2}=m^2 (x^2+y^2)+2 m n x+n^2\)

양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\)이고 \(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 Epstein 제타함수를 다음과 같이 정의

\[\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cY^2)^s}\]

\(\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\) 인 경우 ( \(-\Delta=|\Delta|\) )
실해석적 아이젠슈타인 급수과 다음과 같은 관계

\[E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)\] \[\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)\]

정리

\(\zeta_Q(s)\)의 \(s=1\)에서의 로랑전개는 다음과 같다 \[ \begin{aligned} \zeta_Q(s) & = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right)+O(s-1) \\ {}&=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|})\right)- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1) \end{aligned} \] 여기서 \[\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a},y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\]

크로네커 극한 공식 참조

따름정리

판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 양의정부호 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와 \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여, 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} \lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) & = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\right)\\ {} & =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\} \end{aligned} \] 여기서 \(\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\), \(\omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\)

라마누잔 class invariants 와의 관계

두 이차형식 \(Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2\)와 \(Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2\), \(m=2ac\)에 대하여 위의 따름정리를 적용하면,

\[\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\right)=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}\] 여기서 \(\tau=i\sqrt\frac{2c}{a}\), \(\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}\) \[g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}\]

라마누잔의 class invariants 참조

수학용어번역

Epstein - 발음사전 Forvo

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q7301121

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'real'}, {'LOWER': 'analytic'}, {'LOWER': 'eisenstein'}, {'LEMMA': 'series'}]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+==개요==
+* [[실해석적 아이젠슈타인 급수]]의 특수한 경우
+* [[라마누잔의 class invariants]]를 계산하는데 사용가능하며, 왜 실수이차체의 unit 이 등장하는지를 설명해줌
+==이차형식과 제타함수==
+* <math>\tau=x+iy\in \mathbb{C}</math>에 대하여, <math>|m\tau+n|^{2}=m^2 (x^2+y^2)+2 m n x+n^2</math>
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
+*  양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)|정수계수이차형식]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>이고 <math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 Epstein 제타함수를 다음과 같이 정의
+:<math>\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cY^2)^s}</math>
-<math>E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)</math>
+* <math>\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}</math> 인 경우 ( <math>-\Delta=|\Delta|</math> )
+* [[실해석적 아이젠슈타인 급수]]과 다음과 같은 관계
+:<math>E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)</math>
+:<math>\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)</math>
+;정리
+<math>\zeta_Q(s)</math>의 <math>s=1</math>에서의 로랑전개는 다음과 같다
+:<math>
+\begin{aligned}
+\zeta_Q(s) & = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right)+O(s-1) \\
+{}&=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|})\right)- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1)
+\end{aligned}
+</math>
+여기서 :<math>\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a},y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}</math>
+* [[크로네커 극한 공식]] 참조
-여기서
+;따름정리
-<math>E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}}</math> , <math>\tau = x + iy</math> (<math>y > 0</math>)
+판별식이 같은 즉 <math>m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2</math> 인 두 양의정부호 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와  <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> 에 대하여, 다음이 성립한다.
+:<math>
+\begin{aligned}
+\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) & = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\right)\\
+{} & =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\}
+\end{aligned}
+</math>
+여기서 <math>\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}</math>, <math>\omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}</math>
+==라마누잔 class invariants 와의 관계==
+* 두 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2</math>와 <math>Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2</math>, <math>m=2ac</math>에 대하여 위의 따름정리를 적용하면,
+:<math>\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\right)=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}</math>
+여기서 <math>\tau=i\sqrt\frac{2c}{a}</math>, <math>\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}</math>
+:<math>g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}</math>
+* [[라마누잔의 class invariants]] 참조
-<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">이차형식과 L-function</h5>
-*  양의 정부호인 정수계수이차형식 <math>Q(X,Y)=aX^2+2bXY+cY^2</math> (즉 <math>a>0, m=b^2-ac>0</math>) 에 대하여 다음과 같은 함수를 정의<br><math>E_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+2bXY+cy^2)^s}</math><br>
+==관련된 항목들==
+* [[크로네커 극한 공식]]
+* [[Chowla-셀베르그 공식]]
+* [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]]
+* [[모든 자연수의 곱과 리만제타함수]]
+==수학용어번역==
+*{{forvo|url=Epstein}}
-(정리)
+==사전 형태의 자료==
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Epstein_zeta_function
-<math>E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)</math>
-여기서
-<math>\gamma</math> 는 [[오일러상수, 감마]]
-<math>\tau_1=\frac{b+i\sqrt{m}}{a}</math>, <math>\tau_2=\frac{-b+i\sqrt{m}}{a}</math>
-<math>\eta(\tau)</math>는 [[데데킨트 에타함수]].
-(따름정리)
-<math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와  <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math>
-<math>E_Q(s) ={\frac{\pi}{\sqrt{m}}\frac{1}{s-1} + 2\pi\gamma+\frac{\pi}{\sqrt{m}}\ln \frac{a}{4m}-\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\eta(\tau_1)\eta(\tau_2) +O(s-1)</math>
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
-* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
-* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
-* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
+* https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Epstein
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+* http://mathworld.wolfram.com/EpsteinZetaFunction.html
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
-** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
-* http://dx.doi.org/
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
-*  도서내검색<br>
-** http://books.google.com/books?q=
-** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
-*  도서검색<br>
-** http://books.google.com/books?q=
-** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
-** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>
-*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
-** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>
+==관련논문==
+* Baier, Stephan, Srinivas Kotyada, and Usha Keshav Sangale. “A Note on the Gaps between Zeros of Epstein’s Zeta-Functions on the Critical Line.” arXiv:1602.06069 [math], February 19, 2016. http://arxiv.org/abs/1602.06069.
+* Andersson, Johan, and Anders Södergren. “On the Universality of the Epstein Zeta Function.” arXiv:1508.05836 [math], August 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.05836.
+* [http://projecteuclid.org/euclid.tjm/1270472992 A Proof of the Classical Kronecker Limit Formula]
+**  Takuro SHINTANI. Source: Tokyo J. of Math. Volume 03, Number 2 (1980), 191-199
+* [http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/9/8/007 A systematic approach to the evaluation of <math>\sum_{m,n>0}(am^2+bmn+cn^2)^{-s}</math>]
+**  I J Zucker et al 1976 J. Phys. A: Math. Gen. 9 1215-1225
+* [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function]
+**  S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
+* [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063041/ On Epstein's Zeta Function (I)]
+** S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
+* [http://www.jstor.org/stable/1968602 On Epstein's Zeta Function]
+** Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
-* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+==메타데이터==
-* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
+===위키데이터===
-* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7301121 Q7301121]
-* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'real'}, {'LOWER': 'analytic'}, {'LOWER': 'eisenstein'}, {'LEMMA': 'series'}]