"판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px;">타원곡선의 discriminant</h5>
+
==개요==
 +
* 복소타원곡선의 판별식으로부터 weight이 12인 모듈라 형식 <math>\Delta(\tau)</math>이 얻어짐
 +
* 푸리에 전개 <math>\Delta(\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n</math>로부터 얻어지는 계수 <math>\tau(n)</math>를 라마누잔의 타우 함수라 하며, 이는 많은 흥미로운 수론적 성질을 가짐
  
* <math>\tau\in \mathbb H</math> 에 대응되는 타원곡선 <math>y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)</math> 의 판별식은 다음과 주어짐.<br><math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)</math><br>
 
*  정의에 따라 <math>F</math>는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.<br>
 
*  또한 cusp 형식이 됨.<br><math>g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}</math>, <math>g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}</math> 이므로,<br><math>F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0</math><br>
 
  
*  이 함수의 <math>\tau=i\infty</math>에서의 푸리에 전개는<br><math>g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)</math> 로 주어짐.<br>
 
* [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)|<math>g_2, g_3</math>]]에 대해서는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]] 항목을 참조<br>
 
  
 
+
==판별식 함수==
  
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">정의</h5>
 
  
* <math>\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots</math> 를 discriminant 함수의 정의로 함.<br>
+
===타원곡선의 판별식===
* <math>\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)</math> 로 표현가능<br>
 
  
 
+
* <math>\tau\in \mathbb H</math> 에 대응되는 타원곡선 <math>y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)</math> 의 판별식은 다음과 주어짐
 +
:<math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2</math>
 +
여기서 <math>g_2, g_3</math>는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]
 +
* 정의에 따라 <math>F</math>는 weight 12인 모듈라 형식이 됨
 +
* 한편, <math>g_2(i\infty)=4\pi^4/3</math>, <math>g_3(i\infty)=8\pi^6/27</math> 이므로,:<math>F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0</math>
 +
* 따라서 cusp 형식이 됨
 +
*  이 함수의 <math>\tau=i\infty</math>에서의 푸리에 전개는 다음과 같다
 +
:<math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2=(2\pi)^{12}(q-24q+252q^2\cdots)</math>
  
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">모듈라 성질</h5>
+
===정의===
  
* 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨<br><math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) =  \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math><br>
+
* 판별식 함수를 다음과 같이 정의
 +
:<math>\Delta(\tau):=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)</math>
 +
여기서 <math>E_4, E_6</math>는 [[아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)]]
  
 
 
  
 
+
===모듈라 성질===
  
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">무한곱 표현과 데데킨트 에타함수</h5>
+
*  위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨
 +
:<math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math>
  
* [[데데킨트 에타함수]] <br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math><br> 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,<br><math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math><br>
+
  
 
+
===무한곱 표현과 데데킨트 에타함수===
  
 
+
* [[데데킨트 에타함수]]:<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math> 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, 판별식 함수와 같게 됨. 즉,:<math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math>
  
 
+
  
 
+
==라마누잔의 타우 함수==
  
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">상위 주제</h5>
+
*  판별식 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,:<math>\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n</math>
  
 
 
  
 
 
  
 
+
===라마누잔의 추측===
 +
# 서로 소인 자연수 <math>m,n</math> 에 대하여, <math>\tau(mn)=\tau(m)\tau(n) \label{ram1}</math>
 +
# 소수 <math>p</math>와 자연수 <math>r</math>에 대하여, <math>\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1}) \label{ram2}</math>
 +
# 소수 <math>p</math>에 대하여, <math>|\tau(p)| \leq 2p^{11/2} \label{ram3}</math>
 +
* 1917년 모델 (Mordell)이 처음 두 성질을 증명
 +
* 1974년 Deligne이 Weil 추측을 증명함으로써 해결됨
  
==== 하위페이지 ====
+
===헤케 L-급수===
 +
* 헤케 L-급수를 다음과 같이 정의
 +
:<math>
 +
L(\Delta,s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \quad \Re(s)>\frac{13}{2}
 +
</math>
 +
* 라마누잔 타우 함수의 성질 \ref{ram1}로부터 다음의 무한곱을 얻는다
 +
:<math>
 +
L(\Delta,s)=\prod_{p}L_p(\Delta,s) \label{hecke}
 +
</math>
 +
여기서
 +
:<math>
 +
L_p(\Delta,s)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\tau(p^n)}{(p^s)^n}
 +
</math>
 +
* 성질 \ref{ram2}를 사용하여 다음을 얻는다
 +
:<math>
 +
\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n+1})x^{n+1}=x \tau (p)\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n})x^{n}\right)-p^{11} x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n-1})x^{n-1}\right)
 +
</math>
 +
따라서,
 +
:<math>
 +
\sum_{n=0}^{\infty} \tau(p^n)x^n=\frac{1}{1- \tau (p) x+p^{11} x^2}
 +
</math>
 +
그리고
 +
:<math>
 +
L_p(\Delta,s)=\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}}
 +
</math>
 +
* 이제 \ref{hecke}은 다음과 같이 쓸 수 있다
 +
:<math>
 +
L(\Delta,s)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}}
 +
</math>
 +
* [[L-함수, 제타 함수와 디리클레 급수]]
  
* [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br>
+
===Lehmer의 추측===
** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br>
 
  
 
+
*  모든 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대하여 <math>\tau(n)\neq 0 </math>이다
 +
* http://mathoverflow.net/questions/31058/the-vanishing-of-ramanujans-function-taun
 +
*  미해결
  
 
 
  
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
+
===테이블===
 +
:<math>
 +
\begin{array}{c|c}
 +
n & \tau(n) \\
 +
\hline
 +
0 & 0 \\
 +
1 & 1 \\
 +
2 & -24 \\
 +
3 & 252 \\
 +
4 & -1472 \\
 +
5 & 4830 \\
 +
6 & -6048 \\
 +
7 & -16744 \\
 +
8 & 84480 \\
 +
9 & -113643 \\
 +
10 & -115920 \\
 +
11 & 534612 \\
 +
12 & -370944 \\
 +
13 & -577738 \\
 +
14 & 401856 \\
 +
15 & 1217160 \\
 +
16 & 987136 \\
 +
17 & -6905934 \\
 +
18 & 2727432 \\
 +
19 & 10661420 \\
 +
20 & -7109760 \\
 +
\end{array}
 +
</math>
 +
  
 
+
  
 
+
==메모==
 +
* http://mathoverflow.net/questions/161172/ramanujans-tau-function
 +
*  Hecke’s theory of Hecke operators
 +
*  Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
 +
*  Ramanujan-Petersson Conjectures
 +
* Lee, Will Y. 2014. “Lehmer’s Conjecture on the Non-Vanishing of Ramanujan’s Tau Function.” arXiv:1406.3607 [math], June. http://arxiv.org/abs/1406.3607.
 +
* Lee, Will Y. “Elementary Proof of Lehmer’s Conjecture on Non-Vanishing of Tau Function.” arXiv:1506.02098 [math], June 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.02098.
  
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
+
==관련된 항목들==
  
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br>
+
* [[데데킨트 에타함수]]
 +
* [[라마누잔(1887- 1920)]]
 +
* [[수론적 함수(산술함수, arithmetic function)]]
  
 
 
  
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">많이 나오는 질문과 답변</h5>
+
 +
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxZnNfcFpJNXR4OWM/edit
 +
* http://oeis.org/A000594
 +
* http://aleph.sagemath.org/?q=3a221ddb-d5ba-4c2e-9f0e-7446d8170b21&lang=sage
 +
* http://mathworld.wolfram.com/TauFunction.html
  
*  네이버 지식인<br>
 
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
 
 
 
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 다른 주제들</h5>
 
 
* [[데데킨트 에타함수]]<br>
 
 
 
 
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
 
 
*  도서내검색<br>
 
** http://books.google.com/books?q=
 
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
*  도서검색<br>
 
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
 
 
 
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">참고할만한 자료</h5>
 
  
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==사전 형태의 자료==
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
* http://en.wikipedia.org/wiki/
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_tau_function
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan–Petersson_conjecture
* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
+
   
* http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
 
* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
 
 
 
 
 
 
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>
 
 
 
* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>
 
 
 
* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 
 
 
 
 
 
 
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* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
 
* http://images.google.com/images?q=
 
* [http://www.artchive.com/ http://www.artchive.com]
 
  
 
+
==리뷰, 에세이, 강의노트==
 +
* Murty, M. Ram, and V. Kumar Murty. 2013. “The Ramanujan τ-Function.” In The Mathematical Legacy of Srinivasa Ramanujan, 11–23. Springer India. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-81-322-0770-2_2.
 +
* Rankin, R. A. 1986. “Fourier Coefficients of Cusp Forms.” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100 (1): 5–29. doi:http://dx.doi.org/10.1017/S030500410006583X.
  
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">동영상</h5>
+
==관련논문==
 +
* Tian, Peng, and Hourong Qin. ‘Non-Vanishing Fourier Coefficients of Modular Forms’. arXiv:1504.07381 [math], 28 April 2015. http://arxiv.org/abs/1504.07381.
 +
* Lehmer, D.H. [http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-47-01436-1 The vanishing of Ramanujan’s τ(n)], Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)
 +
* Mordell, L. J., [http://www.archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 On Mr.  Ramanujan's empirical expansions of modular functions], Cambr. Phil. Soc. Proc. 19, 117-124 (1917)
  
* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
+
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q3535240 Q3535240]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'tau'}, {'OP': '*'}, {'LEMMA': 'function'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:05 기준 최신판

개요

  • 복소타원곡선의 판별식으로부터 weight이 12인 모듈라 형식 \(\Delta(\tau)\)이 얻어짐
  • 푸리에 전개 \(\Delta(\tau)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\)로부터 얻어지는 계수 \(\tau(n)\)를 라마누잔의 타우 함수라 하며, 이는 많은 흥미로운 수론적 성질을 가짐


판별식 함수

타원곡선의 판별식

  • \(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐

\[F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2\] 여기서 \(g_2, g_3\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)

  • 정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨
  • 한편, \(g_2(i\infty)=4\pi^4/3\), \(g_3(i\infty)=8\pi^6/27\) 이므로,\[F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\]
  • 따라서 cusp 형식이 됨
  • 이 함수의 \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개는 다음과 같다

\[F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3(\tau)^2=(2\pi)^{12}(q-24q+252q^2\cdots)\]

정의

  • 판별식 함수를 다음과 같이 정의

\[\Delta(\tau):=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\] 여기서 \(E_4, E_6\)는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)


모듈라 성질

  • 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨

\[\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\]


무한곱 표현과 데데킨트 에타함수

  • 데데킨트 에타함수\[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\] 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, 판별식 함수와 같게 됨. 즉,\[\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\]


라마누잔의 타우 함수

  • 판별식 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,\[\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\]


라마누잔의 추측

  1. 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\tau(mn)=\tau(m)\tau(n) \label{ram1}\)
  2. 소수 \(p\)와 자연수 \(r\)에 대하여, \(\tau(p^{r + 1}) = \tau(p)\tau(p^r) - p^{11}\tau(p^{r - 1}) \label{ram2}\)
  3. 소수 \(p\)에 대하여, \(|\tau(p)| \leq 2p^{11/2} \label{ram3}\)
  • 1917년 모델 (Mordell)이 처음 두 성질을 증명
  • 1974년 Deligne이 Weil 추측을 증명함으로써 해결됨

헤케 L-급수

  • 헤케 L-급수를 다음과 같이 정의

\[ L(\Delta,s):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \quad \Re(s)>\frac{13}{2} \]

  • 라마누잔 타우 함수의 성질 \ref{ram1}로부터 다음의 무한곱을 얻는다

\[ L(\Delta,s)=\prod_{p}L_p(\Delta,s) \label{hecke} \] 여기서 \[ L_p(\Delta,s)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\tau(p^n)}{(p^s)^n} \]

  • 성질 \ref{ram2}를 사용하여 다음을 얻는다

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n+1})x^{n+1}=x \tau (p)\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n})x^{n}\right)-p^{11} x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}\tau(p^{n-1})x^{n-1}\right) \] 따라서, \[ \sum_{n=0}^{\infty} \tau(p^n)x^n=\frac{1}{1- \tau (p) x+p^{11} x^2} \] 그리고 \[ L_p(\Delta,s)=\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}} \]

  • 이제 \ref{hecke}은 다음과 같이 쓸 수 있다

\[ L(\Delta,s)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s} \tau (p)+p^{11-2 s}} \]

Lehmer의 추측


테이블

\[ \begin{array}{c|c} n & \tau(n) \\ \hline 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & -24 \\ 3 & 252 \\ 4 & -1472 \\ 5 & 4830 \\ 6 & -6048 \\ 7 & -16744 \\ 8 & 84480 \\ 9 & -113643 \\ 10 & -115920 \\ 11 & 534612 \\ 12 & -370944 \\ 13 & -577738 \\ 14 & 401856 \\ 15 & 1217160 \\ 16 & 987136 \\ 17 & -6905934 \\ 18 & 2727432 \\ 19 & 10661420 \\ 20 & -7109760 \\ \end{array} \]



메모

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  • [{'LOWER': 'tau'}, {'OP': '*'}, {'LEMMA': 'function'}]