"패리 수열(Farey series)"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
  
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*  Fn 은 0부터 1사이의 분모가 n이하인 기약분수의 집합
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** F1 = {0⁄1, 1⁄1}
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** F2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1}
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** F3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1}
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** F4 = {0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1}
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** F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1}
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** F6 = {0⁄1, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 1⁄1} 
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** F7 = {0⁄1, 1⁄7, 1⁄6, 1/5, 1/4, 2/7, 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 1⁄1}
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[[파일:1984310-Farey_Sequence(1).png]]
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*  두 분수에 대해 '초딩들의 꿈의 분수덧셈'을 다음과 같이 정의하면,:<math>\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}</math>
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*  주어진 order의 Farey series에 등장하는 연속된 세 수를 보면, 가운데 수는 언제나 그 옆에 있는 두 수의 ‘초딩들의 꿈의 분수덧셈’을 통해서 얻어지는 것을 관찰할 수 있다.
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** 이 관찰의 증명은 맨 아래의 '참고할만한 자료'에서 찾을 수 있음
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==인접합 두 수가 만족하는 성질==
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* <math>F_n</math>의 인접한 두 분수, <math>\frac{b}{a} < \frac{d}{c}</math> 사이에는 다음과 같은 관계가 성립
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:<math>ad-bc=1</math>
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오늘은 이것을 증명한다. 이것을 증명하면, 초딩들의 꿈의 분수덧셈이 왜 참인지 쉽게 알 수 있다.
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이제 문제를 기하학적으로 해석해 보자. F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1} 를 예를 들어 설명한다.
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먼저 각각의 분수들에 대해, 좌표평면에다가 다음과 같은 방식의 대응관계를 찾아 점을 찍는다. 즉,
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:<math>
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0/1 \mapsto (1,0)\\
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1/5 \mapsto (5,1)\\
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1/4 \mapsto (4,1)\\
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\cdots \\
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3/4 \mapsto (4,3)\\
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4/5 \mapsto (5,4)\\
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1/1 \mapsto (1,1)\\
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</math>
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그러면 아래와 같은 그림이 얻어진다.
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이 다음 각각의 좌표를 원점과 잇는 선분을 그린다.
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각각의 분수들은 이와 같이 얻어진 직선의 기울기와 같다는 것을 알 수 있다. 인접한 두 분수는 인접한 두 직선으로 나타나고 있다.
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이제 왜 인접한 <math>\frac{b}{a} < \frac{d}{c}</math>, 가 <math>ad-bc=1</math>를 만족시키는가를 이해해 보자. 예를 들어, 1/2와 3/5는 인접해 있는데, 2×3-1×5=1을 만족시키고 있다. 이 상황을 기하학적으로 이해하자.
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좌표평면 상에서 (0,0), (a,b), (c,d)이 그리는 격자삼각형을 생각해보자. ( (0,0),(2,1), (5,3) 의 경우를 구체적으로 생각해보라)
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'''세 점을 이어서 삼각형을 그리게 되면, 이 삼각형은 그 내부와 경계에 (0,0), (a,b), (c,d)를 제외한 다른 격자들을 가지고 있지 않다.''' 이 관찰이 매우 중요하므로, 이것이 왜 참인지, <math>F_n</math>의 정의를 가지고 곰곰이 생각해보면 좋겠다.
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이제 [[픽의 정리(Pick's Theorem)]]에 의해, 삼각형의 넓이는 <math>\frac{1}{2}</math>가 된다. (I=0,B=3 인 경우) 픽의 정리는
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를 말한다.한편 좌표평면 상에, 원점과 (a,b), (c,d) 세 점이 결정하는 삼각형의 넓이는 다음과 같이 주어진다.
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:<math>\frac{|ad-bc|}{2}</math>
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따라서 ad-bc가 양수라면, ad-bc=1이 성립해야만 한다.
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==패리 산수==
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<math>\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}</math>
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</blockquote>
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이제 목표했던 대로,
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주어진 order의 Farey series에 등장하는 연속된 세 수를 보면, 가운데 수는 언제나 그 옆에 있는 두 수의 ‘초딩들의 꿈의 분수덧셈’을 통해서 얻어진다.
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</blockquote>
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를 증명한다. 지난 번 글에서는 다음 결과를 증명했다.
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<math>F_n</math>의 인접한 두 분수,
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<math>\frac{b}{a} < \frac{d}{c}</math>
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사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
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<math>ad-bc=1</math>
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</blockquote>
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이제 이 결과를 이용해서, 초딩들의 꿈이 왜 참이 되는지를 증명한다.
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<math>F_n</math>의 인접한 세 수를
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<math>\frac{b}{a} <\frac{x}{y} < \frac{d}{c}</math>
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</blockquote>
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라고 하면, 다음 식들을 얻게 된다.
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<math>ax-by=1</math>:<math>dy-bx=1</math>
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</blockquote>
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두 식을 서로 뺀다.
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<math>(ax-by)-(dy-cx)=0</math>
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</blockquote>
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즉
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<math>(a+c)x-(b+d)y=0</math>
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따라서,
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<math>\frac{x}{y}=\frac{b+d}{a+c}</math>
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</blockquote>
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따라서 초딩들의 꿈의 덧셈은 참이다.
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;주의
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분수덧셈 배우는 초딩들 헷갈리는 사태가 발생할 수 있으므로, 초등학교에서는 교육을 권장하지 않음
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==F_n의 크기==
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==메모==
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* http://www3.telus.net/ldh/math/farey_hurwitz.pdf
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* http://scimath.unl.edu/MIM/files/MATExamFiles/AmenGreenSchmidt_MAT_Exam_Expository%20Paper.pdf
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==관련된 단원==
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*  정수
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** 약수와 배수
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** 서로소
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 +
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==관련된 항목들==
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* [[픽의 정리(Pick's Theorem)]]
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* [[포드 원 (Ford Circles)]]
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* [[콕세터 프리즈]]
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==관련된 대학 수학==
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* [[초등정수론]]
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* [[추상대수학]]
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** 유한체 - Freshman's dream
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* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli|The modular group, j-invariant and the singular moduli]]
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** [[모듈라 군(modular group)|modular group]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYmI3ZWJkNDItYWNiZi00OThlLTg4NTYtNTkzNWNiY2U0NmFk/edit
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==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/John_Farey,_Sr.
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==관련논문==
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* Short, Ian, and Mairi Walker. “Even-Integer Continued Fractions and the Farey Tree.” arXiv:1508.01373 [math], August 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01373.
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* Lagarias, Jeffery, and Harsh Mehta. ‘Products of Farey Fractions’. arXiv:1503.00199 [math], 28 February 2015. http://arxiv.org/abs/1503.00199.
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* Neville, E. H. 1949. “The structure of Farey series”. <em>Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series</em> 51: 132–144.
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==블로그==
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/18/594 초딩들의 꿈 - Farey Series] (피타고라스의 창)
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/23/613 초딩들의 꿈 - Farey Series (2)] (피타고라스의 창)
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/05/08/642 초딩들의 꿈 - Farey Series (3)] (피타고라스의 창)
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* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/28/698 오늘의 퀴즈 : Farey series의 크기]
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** 피타고라스의 창, 2008-7-28
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==더 읽을 거리==
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* [http://navercast.naver.com/science/math/1049 바보셈에서 페리수열]
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** 네이버 오늘의 과학, 2009년 9월 8일, 이광연
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[[분류:정수론]]
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[[분류:수열]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q355803 Q355803]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'john'}, {'LEMMA': 'Farey'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:05 기준 최신판

개요

  • Fn 은 0부터 1사이의 분모가 n이하인 기약분수의 집합
    • F1 = {0⁄1, 1⁄1}
    • F2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1}
    • F3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1}
    • F4 = {0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1}
    • F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1}
    • F6 = {0⁄1, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 1⁄1}
    • F7 = {0⁄1, 1⁄7, 1⁄6, 1/5, 1/4, 2/7, 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 1⁄1}

1984310-Farey Sequence(1).png

  • 두 분수에 대해 '초딩들의 꿈의 분수덧셈'을 다음과 같이 정의하면,\[\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\]
  • 주어진 order의 Farey series에 등장하는 연속된 세 수를 보면, 가운데 수는 언제나 그 옆에 있는 두 수의 ‘초딩들의 꿈의 분수덧셈’을 통해서 얻어지는 것을 관찰할 수 있다.
    • 이 관찰의 증명은 맨 아래의 '참고할만한 자료'에서 찾을 수 있음



인접합 두 수가 만족하는 성질

  • \(F_n\)의 인접한 두 분수, \(\frac{b}{a} < \frac{d}{c}\) 사이에는 다음과 같은 관계가 성립

\[ad-bc=1\]



오늘은 이것을 증명한다. 이것을 증명하면, 초딩들의 꿈의 분수덧셈이 왜 참인지 쉽게 알 수 있다.


이제 문제를 기하학적으로 해석해 보자. F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1} 를 예를 들어 설명한다.


먼저 각각의 분수들에 대해, 좌표평면에다가 다음과 같은 방식의 대응관계를 찾아 점을 찍는다. 즉, \[ 0/1 \mapsto (1,0)\\ 1/5 \mapsto (5,1)\\ 1/4 \mapsto (4,1)\\ \cdots \\ 3/4 \mapsto (4,3)\\ 4/5 \mapsto (5,4)\\ 1/1 \mapsto (1,1)\\ \]


그러면 아래와 같은 그림이 얻어진다.




이 다음 각각의 좌표를 원점과 잇는 선분을 그린다.




각각의 분수들은 이와 같이 얻어진 직선의 기울기와 같다는 것을 알 수 있다. 인접한 두 분수는 인접한 두 직선으로 나타나고 있다.


이제 왜 인접한 \(\frac{b}{a} < \frac{d}{c}\), 가 \(ad-bc=1\)를 만족시키는가를 이해해 보자. 예를 들어, 1/2와 3/5는 인접해 있는데, 2×3-1×5=1을 만족시키고 있다. 이 상황을 기하학적으로 이해하자.


좌표평면 상에서 (0,0), (a,b), (c,d)이 그리는 격자삼각형을 생각해보자. ( (0,0),(2,1), (5,3) 의 경우를 구체적으로 생각해보라)


세 점을 이어서 삼각형을 그리게 되면, 이 삼각형은 그 내부와 경계에 (0,0), (a,b), (c,d)를 제외한 다른 격자들을 가지고 있지 않다. 이 관찰이 매우 중요하므로, 이것이 왜 참인지, \(F_n\)의 정의를 가지고 곰곰이 생각해보면 좋겠다.


이제 픽의 정리(Pick's Theorem)에 의해, 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2}\)가 된다. (I=0,B=3 인 경우) 픽의 정리는




를 말한다.한편 좌표평면 상에, 원점과 (a,b), (c,d) 세 점이 결정하는 삼각형의 넓이는 다음과 같이 주어진다. \[\frac{|ad-bc|}{2}\] 따라서 ad-bc가 양수라면, ad-bc=1이 성립해야만 한다.


패리 산수

\(\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

이제 목표했던 대로,

주어진 order의 Farey series에 등장하는 연속된 세 수를 보면, 가운데 수는 언제나 그 옆에 있는 두 수의 ‘초딩들의 꿈의 분수덧셈’을 통해서 얻어진다.

를 증명한다. 지난 번 글에서는 다음 결과를 증명했다.

\(F_n\)의 인접한 두 분수,

\(\frac{b}{a} < \frac{d}{c}\)

사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

\(ad-bc=1\)

이제 이 결과를 이용해서, 초딩들의 꿈이 왜 참이 되는지를 증명한다.

\(F_n\)의 인접한 세 수를

\(\frac{b}{a} <\frac{x}{y} < \frac{d}{c}\)

라고 하면, 다음 식들을 얻게 된다.

\(ax-by=1\)\[dy-bx=1\]

두 식을 서로 뺀다.

\((ax-by)-(dy-cx)=0\)

즉

\((a+c)x-(b+d)y=0\)

따라서,

\(\frac{x}{y}=\frac{b+d}{a+c}\)

따라서 초딩들의 꿈의 덧셈은 참이다.

주의

분수덧셈 배우는 초딩들 헷갈리는 사태가 발생할 수 있으므로, 초등학교에서는 교육을 권장하지 않음


F_n의 크기

메모



관련된 단원

  • 정수
    • 약수와 배수
    • 서로소


관련된 항목들



관련된 대학 수학



매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료

관련논문

  • Short, Ian, and Mairi Walker. “Even-Integer Continued Fractions and the Farey Tree.” arXiv:1508.01373 [math], August 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01373.
  • Lagarias, Jeffery, and Harsh Mehta. ‘Products of Farey Fractions’. arXiv:1503.00199 [math], 28 February 2015. http://arxiv.org/abs/1503.00199.
  • Neville, E. H. 1949. “The structure of Farey series”. Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series 51: 132–144.



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  • [{'LOWER': 'john'}, {'LEMMA': 'Farey'}]
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