"각운동량의 양자 이론"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 16일 (월) 03:56 기준 최신판

개요

고전역학의 각운동량
오비탈 각운동량
스핀 각운동량

고전역학의 각운동량

고전적 의미에서 선운동량(linear momentum)이 물체가 직선운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다. 이와 유사하게 각운동량(angular momentum)이란 물체가 회전운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다.
회전운동의 크기는 회전반지름, 물체의 질량, 회전속도에 비례해야 할 것이다. 여기에 방향을 고려하면 각운동량 벡터 \(\mathbf{\Omega}\)는 아래와 같이 정의된다. 방향을 정의할 때는 관습에 따라 오른손 규약을 따른다

\[\mathbf{\Omega}=\mathbf{x}\times \mathbf{p}\]

\(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\), \(\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3)\)로 두면, 각운동량 벡터의 각 성분은 \(\Omega_j =\epsilon_{jkl} x_k p_l\) 로 주어진다
포아송 괄호를 다음과 같이 정의하자

\[ \{f,g\} : = \sum_{i=1}^{3} \left[ \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial x_{i}} \right] \]

각운동량 벡터의 각 성분은 다음을 만족한다

\[ \{\Omega_{i},\Omega_{j}\}=\epsilon_{ijk}\Omega_{k} \] 풀어 쓰면, \[ \{\Omega_1 , \Omega_2 \} = \Omega_3 \\ \{\Omega_2 , \Omega_3 \} = \Omega_1 \\ \{\Omega_3 , \Omega_1 \} = \Omega_2 \]

양자화된 궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)

위치 연산자와 운동량 연산자의 양자화

\[[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\]\[\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}\]

3차원에서는 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다. 이는 불확정성의 원리와 관계가 있다.

\[ [\hat{x}_k , \hat{p}_l ] = i \hbar \delta_{kl} I \label{xp} \]

수소원자를 이루는 전자의 각운동량은 3차원 직각좌표계를 도입할 때 \(\mathbf{L} = (L_1 ,L_2 ,L_3)\) 와 같이 세 개의 성분으로 표시 가능. 여기서 세 성분은 다음과 같이 주어지게 된다

\[L_j =\epsilon_{jkl} \hat{x}_k \hat{p}_l\]

불확정성의 원리에 기반하여 실험적으로는 아무리 측정을 잘 해도 이 세 성분을 정확히 측정하는 것은 불가능함.
관계식 \ref{xp}로부터 각운동량의 각 성분들에 대한 아래의 교환자 관계식을 얻는다.

\[[L_i , L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k\] 풀어 쓰면, \[ [L_1 , L_2 ] = i \hbar L_3 \\ [L_2 , L_3 ] = i \hbar L_1 \\ [L_3 , L_1 ] = i \hbar L_2 \]

오비탈 각운동량 항목 참조

스핀각운동량(Spin Angular Momentum)

스핀각운동량에 관하여도 유사한 논리가 성립한다.\[[S_i , S_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} S_k\]

3-j 기호

3-j 기호(3-j symbols)

역사

메모

Semiclassical analysis ofWigner 3j-symbol http://bohr.physics.berkeley.edu/hal/pubs/AqHaLiYu2007/AqHaLiYuJPA3jSymbol.pdf
example
- [1]http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/quant.mech/lectures/lecture_8/node3.html
- http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=172397
Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Paul E.S. Wormer, ANGULAR MOMENTUM THEORY
Quantization of the Spins
Theory of Angular Momentum and Spin
Michael Weiss, Lie Groups and Quantum Mechanics

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-==이 항목의 수학노트 원문주소==
-* [[각운동량의 양자 이론|각운동량의 양자화]]
 ==개요==
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 * 스핀 각운동량
 ==고전역학의 각운동량==
 * 고전적 의미에서 선운동량(linear momentum)이 물체가 직선운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다. 이와 유사하게 각운동량(angular momentum)이란 물체가 회전운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다.
-* 회전운동의 크기는 회전반지름, 물체의 질량, 회전속도에 비례해야 할 것이다. 여기에 방향을 고려하면 각운동량 벡터는 아래와 같이 정의된다. 방향을 정의할 때는 관습에 따라 오른손 규약을 따른다.
+* 회전운동의 크기는 회전반지름, 물체의 질량, 회전속도에 비례해야 할 것이다. 여기에 방향을 고려하면 각운동량 벡터 <math>\mathbf{\Omega}</math>는 아래와 같이 정의된다. 방향을 정의할 때는 관습에 따라 오른손 규약을 따른다
-* <math>\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}</math>
+:<math>\mathbf{\Omega}=\mathbf{x}\times \mathbf{p}</math>
+* <math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)</math>, <math>\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3)</math>로 두면, 각운동량 벡터의 각 성분은 <math>\Omega_j  =\epsilon_{jkl} x_k p_l</math> 로 주어진다
+* 포아송 괄호를 다음과 같이 정의하자
+:<math>
+\{f,g\} : = \sum_{i=1}^{3} \left[  \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial x_{i}} \right]
+</math>
+* 각운동량 벡터의 각 성분은 다음을 만족한다
+:<math>
+\{\Omega_{i},\Omega_{j}\}=\epsilon_{ijk}\Omega_{k}
+</math>
+풀어 쓰면,
+:<math>
+\{\Omega_1 , \Omega_2 \} =  \Omega_3 \\
+\{\Omega_2 , \Omega_3 \} =  \Omega_1 \\
+\{\Omega_3 , \Omega_1 \} =  \Omega_2
+</math>
+==양자화된 궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)==
-==궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)==
-*  위치 연산자와 운동량 연산자:<math>[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar</math>:<math>\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}</math><br>
-*  수소원자를 이루는 전자의 각운동량은 3차원 직각좌표계를 도입할 때 <math>\vec{L} = \hat{x} L_x + \hat{y} L_y + \hat{z} L_z</math> 와 같이 세 개의 성분으로 표시 가능.<br>
-*  불확정성의 원리에 기반하여 실험적으로는 아무리 측정을 잘 해도 이 세 성분을 정확히 측정하는 것은 불가능함.<br>
-*  양자역학에서는 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다. 이는 불확정성의 원리와 관계가 있다.:<math>[x , p_x ] = i \hbar</math> , <math>[y , p_y ] = i \hbar</math>, <math>[z , p_z ] = i \hbar</math><br> 이 관계식들은 각운동량의 각 성분들에 대한 아래의 교환자 관계식들과 동치이다.:<math>[L_x , L_y ] = i \hbar L_z</math>, <math>[L_y , L_z ] = i \hbar L_x</math>, <math>[L_z , L_x ] = i \hbar L_y</math><br> (<math>\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}</math> 관계를 이용하면 쉽게 알 수 있다):<math>x = 1, y = 2 , z = 3</math> 으로 두고 <math>i,j,k= 1,2,3</math> 이라 하면 리대수의 구조상수에 관한 교환자관계식을 얻는다.:<math>[L_i , L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k</math><br>
+*  위치 연산자와 운동량 연산자의 양자화
+:<math>[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar</math>:<math>\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}</math>
+*  3차원에서는 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다. 이는 불확정성의 원리와 관계가 있다.
+:<math>
+[\hat{x}_k , \hat{p}_l ] = i \hbar \delta_{kl} I \label{xp}
+</math>
+*  수소원자를 이루는 전자의 각운동량은 3차원 직각좌표계를 도입할 때 <math>\mathbf{L} = (L_1 ,L_2 ,L_3)</math> 와 같이 세 개의 성분으로 표시 가능. 여기서 세 성분은 다음과 같이 주어지게 된다
+:<math>L_j  =\epsilon_{jkl} \hat{x}_k \hat{p}_l</math>
+*  불확정성의 원리에 기반하여 실험적으로는 아무리 측정을 잘 해도 이 세 성분을 정확히 측정하는 것은 불가능함.
+* 관계식 \ref{xp}로부터 각운동량의 각 성분들에 대한 아래의 교환자 관계식을 얻는다.
+:<math>[L_i , L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k</math>
+풀어 쓰면,
+:<math>
+[L_1 , L_2 ] = i \hbar L_3 \\
+[L_2 , L_3 ] = i \hbar L_1 \\
+[L_3 , L_1 ] = i \hbar L_2
+</math>
 * [[오비탈 각운동량]] 항목 참조
 ==스핀각운동량(Spin Angular Momentum)==
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 * [[파울리 행렬]]
 ==3-j 기호==
 * [[3-j 기호(3-j symbols)]]
 ==역사==
 * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]
 ==메모==
 * Semiclassical analysis ofWigner 3j-symbol http://bohr.physics.berkeley.edu/hal/pubs/AqHaLiYu2007/AqHaLiYuJPA3jSymbol.pdf
-*  example<br>
+*  example
 ** [http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/quant.mech/lectures/lecture_8/node3.html ]http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/quant.mech/lectures/lecture_8/node3.html
 ** http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=172397
 * Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 ==관련된 항목들==
+* [[벡터의 외적(cross product)]]
-==수학용어번역==
-*  단어사전<br>
-** http://translate.google.com/#en|ko|
-** http://ko.wiktionary.org/wiki/
-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
-* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWVBU2RnRWN2Sk0/edit
 * http://demonstrations.wolfram.com/AdditionOfAngularMomentaInQuantumMechanics/
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* http://functions.wolfram.com/
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
-* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
-* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * http://mathworld.wolfram.com/Clebsch-GordanCoefficient.html
 * http://mathworld.wolfram.com/RacahV-Coefficient.html
-* http://mathworld.wolfram.com/Wigner3j-Symbol.html<br>
+* http://mathworld.wolfram.com/Wigner3j-Symbol.html
-* http://ko.wikipedia.org/wiki/
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
-* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
-* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 ==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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 * [http://www.stanford.edu/%7Ersasaki/AP387/chap5 Quantization of the Spins]
 * [http://www.ks.uiuc.edu/Services/Class/PHYS480/qm_PDF/chp5.pdf Theory of Angular Momentum and Spin]
-*  Michael Weiss, [http://math.ucr.edu/home/baez/lie/lie.html Lie Groups and Quantum Mechanics]<br>
+* Michael Weiss, [http://math.ucr.edu/home/baez/lie/lie.html Lie Groups and Quantum Mechanics]
+==관련논문==
+* Bitencourt, Ana Carla P., Mirco Ragni, Robert G. Littlejohn, Roger Anderson, and Vincenzo Aquilanti. “The Screen Representation of Vector Coupling Coefficients or Wigner 3j Symbols: Exact Computation and Illustration of the Asymptotic Behavior.” arXiv:1409.8205 [gr-Qc, Physics:math-Ph, Physics:quant-Ph] 8579 (2014): 468–81. doi:10.1007/978-3-319-09144-0_32.
 ==관련도서==
@@ 154번째 줄: / 137번째 줄: @@
 * [http://www.amazon.com/Angular-Momentum-Quantum-Mechanics-Investigations/dp/0691025894 Angular Momentum in Quantum Mechanics]
 * [http://www.amazon.com/Quantum-Theory-Angular-Momemtum-Varshalovich/dp/9971509962 Quantum Theory of Angular Momemtum]
-*  도서내검색<br>
-** http://books.google.com/books?q=
-** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
+[[분류:양자역학]]
+[[분류:수리물리학]]

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2020년 11월 16일 (월) 03:56 기준 최신판

목차

개요

고전역학의 각운동량

양자화된 궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)

스핀각운동량(Spin Angular Momentum)

3-j 기호

역사

메모

관련된 항목들

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리뷰논문, 에세이, 강의노트

관련논문

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