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==개요==
 
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* 스핀 각운동량
 
* 스핀 각운동량
  
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==고전역학의 각운동량==
 
==고전역학의 각운동량==
  
 
* 고전적 의미에서 선운동량(linear momentum)이 물체가 직선운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다. 이와 유사하게 각운동량(angular momentum)이란 물체가 회전운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다.
 
* 고전적 의미에서 선운동량(linear momentum)이 물체가 직선운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다. 이와 유사하게 각운동량(angular momentum)이란 물체가 회전운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다.
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* 회전운동의 크기는 회전반지름, 물체의 질량, 회전속도에 비례해야 할 것이다. 여기에 방향을 고려하면 각운동량 벡터는 아래와 같이 정의된다. 방향을 정의할 때는 관습에 따라 오른손 규약을 따른다.
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* 회전운동의 크기는 회전반지름, 물체의 질량, 회전속도에 비례해야 할 것이다. 여기에 방향을 고려하면 각운동량 벡터 <math>\mathbf{\Omega}</math>는 아래와 같이 정의된다. 방향을 정의할 때는 관습에 따라 오른손 규약을 따른다
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* <math>\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}</math>
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:<math>\mathbf{\Omega}=\mathbf{x}\times \mathbf{p}</math>
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* <math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)</math>, <math>\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3)</math>로 두면, 각운동량 벡터의 각 성분은 <math>\Omega_j  =\epsilon_{jkl} x_k p_l</math> 로 주어진다
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* 포아송 괄호를 다음과 같이 정의하자
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:<math>
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\{f,g\} : = \sum_{i=1}^{3} \left[  \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial x_{i}} \right]
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</math>
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* 각운동량 벡터의 각 성분은 다음을 만족한다
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:<math>
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\{\Omega_{i},\Omega_{j}\}=\epsilon_{ijk}\Omega_{k}
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풀어 쓰면,
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:<math>
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\{\Omega_1 , \Omega_2 \} =  \Omega_3 \\
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\{\Omega_2 , \Omega_3 \} =  \Omega_1 \\
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\{\Omega_3 , \Omega_1 \} =  \Omega_2
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==양자화된 궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)==
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==궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)==
 
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*  위치 연산자와 운동량 연산자:<math>[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar</math>:<math>\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}</math><br>
 
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*  수소원자를 이루는 전자의 각운동량은 3차원 직각좌표계를 도입할 때 <math>\vec{L} = \hat{x} L_x + \hat{y} L_y + \hat{z} L_z</math> 와 같이 세 개의 성분으로 표시 가능.<br>
 
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*  불확정성의 원리에 기반하여 실험적으로는 아무리 측정을 잘 해도 이 세 성분을 정확히 측정하는 것은 불가능함.<br>
 
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*  양자역학에서는 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다. 이는 불확정성의 원리와 관계가 있다.:<math>[x , p_x ] = i \hbar</math> , <math>[y , p_y ] = i \hbar</math>, <math>[z , p_z ] = i \hbar</math><br> 이 관계식들은 각운동량의 각 성분들에 대한 아래의 교환자 관계식들과 동치이다.:<math>[L_x , L_y ] = i \hbar L_z</math>, <math>[L_y , L_z ] = i \hbar L_x</math>, <math>[L_z , L_x ] = i \hbar L_y</math><br> (<math>\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}</math> 관계를 이용하면 쉽게 알 수 있다):<math>x = 1, y = 2 , z = 3</math> 으로 두고 <math>i,j,k= 1,2,3</math> 이라 하면 리대수의 구조상수에 관한 교환자관계식을 얻는다.:<math>[L_i , L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k</math><br>
 
  
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*  위치 연산자와 운동량 연산자의 양자화
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:<math>[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar</math>:<math>\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}</math>
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*  3차원에서는 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다. 이는 불확정성의 원리와 관계가 있다.
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:<math>
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[\hat{x}_k , \hat{p}_l ] = i \hbar \delta_{kl} I \label{xp}
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</math>
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*  수소원자를 이루는 전자의 각운동량은 3차원 직각좌표계를 도입할 때 <math>\mathbf{L} = (L_1 ,L_2 ,L_3)</math> 와 같이 세 개의 성분으로 표시 가능. 여기서 세 성분은 다음과 같이 주어지게 된다
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:<math>L_j  =\epsilon_{jkl} \hat{x}_k \hat{p}_l</math>
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*  불확정성의 원리에 기반하여 실험적으로는 아무리 측정을 잘 해도 이 세 성분을 정확히 측정하는 것은 불가능함.
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* 관계식 \ref{xp}로부터 각운동량의 각 성분들에 대한 아래의 교환자 관계식을 얻는다.
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:<math>[L_i , L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k</math>
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풀어 쓰면,
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[L_1 , L_2 ] = i \hbar L_3 \\
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[L_2 , L_3 ] = i \hbar L_1 \\
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[L_3 , L_1 ] = i \hbar L_2
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* [[오비탈 각운동량]] 항목 참조
 
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==스핀각운동량(Spin Angular Momentum)==
 
==스핀각운동량(Spin Angular Momentum)==
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* [[파울리 행렬]]
 
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==3-j 기호==
 
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* [[3-j 기호(3-j symbols)]]
 
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==역사==
 
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
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* [[수학사 연표]]
 
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==메모==
 
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* Semiclassical analysis ofWigner 3j-symbol http://bohr.physics.berkeley.edu/hal/pubs/AqHaLiYu2007/AqHaLiYuJPA3jSymbol.pdf
 
* Semiclassical analysis ofWigner 3j-symbol http://bohr.physics.berkeley.edu/hal/pubs/AqHaLiYu2007/AqHaLiYuJPA3jSymbol.pdf
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*  example<br>
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*  example
 
** [http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/quant.mech/lectures/lecture_8/node3.html ]http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/quant.mech/lectures/lecture_8/node3.html
 
** [http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/quant.mech/lectures/lecture_8/node3.html ]http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/quant.mech/lectures/lecture_8/node3.html
 
** http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=172397
 
** http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=172397
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
  
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==관련된 항목들==
 
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** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
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* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWVBU2RnRWN2Sk0/edit
 
* http://demonstrations.wolfram.com/AdditionOfAngularMomentaInQuantumMechanics/
 
* http://demonstrations.wolfram.com/AdditionOfAngularMomentaInQuantumMechanics/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* http://functions.wolfram.com/
 
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
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* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
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* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
  
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==사전 형태의 자료==
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==사전 형태의 자료==
  
 
* http://mathworld.wolfram.com/Clebsch-GordanCoefficient.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/Clebsch-GordanCoefficient.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/RacahV-Coefficient.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/RacahV-Coefficient.html
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* http://mathworld.wolfram.com/Wigner3j-Symbol.html<br>
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* http://mathworld.wolfram.com/Wigner3j-Symbol.html
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
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* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 
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* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
  
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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* [http://www.stanford.edu/%7Ersasaki/AP387/chap5 Quantization of the Spins]
 
* [http://www.stanford.edu/%7Ersasaki/AP387/chap5 Quantization of the Spins]
 
* [http://www.ks.uiuc.edu/Services/Class/PHYS480/qm_PDF/chp5.pdf Theory of Angular Momentum and Spin]
 
* [http://www.ks.uiuc.edu/Services/Class/PHYS480/qm_PDF/chp5.pdf Theory of Angular Momentum and Spin]
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* Michael Weiss, [http://math.ucr.edu/home/baez/lie/lie.html Lie Groups and Quantum Mechanics]<br>
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* Michael Weiss, [http://math.ucr.edu/home/baez/lie/lie.html Lie Groups and Quantum Mechanics]
  
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==관련논문==
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* Bitencourt, Ana Carla P., Mirco Ragni, Robert G. Littlejohn, Roger Anderson, and Vincenzo Aquilanti. “The Screen Representation of Vector Coupling Coefficients or Wigner 3j Symbols: Exact Computation and Illustration of the Asymptotic Behavior.” arXiv:1409.8205 [gr-Qc, Physics:math-Ph, Physics:quant-Ph] 8579 (2014): 468–81. doi:10.1007/978-3-319-09144-0_32.
  
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==관련도서==
 
==관련도서==
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* [http://www.amazon.com/Angular-Momentum-Quantum-Mechanics-Investigations/dp/0691025894 Angular Momentum in Quantum Mechanics]
 
* [http://www.amazon.com/Angular-Momentum-Quantum-Mechanics-Investigations/dp/0691025894 Angular Momentum in Quantum Mechanics]
 
* [http://www.amazon.com/Quantum-Theory-Angular-Momemtum-Varshalovich/dp/9971509962 Quantum Theory of Angular Momemtum]
 
* [http://www.amazon.com/Quantum-Theory-Angular-Momemtum-Varshalovich/dp/9971509962 Quantum Theory of Angular Momemtum]
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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[[분류:양자역학]]
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[[분류:수리물리학]]

2020년 11월 16일 (월) 03:56 기준 최신판

개요

  • 고전역학의 각운동량
  • 오비탈 각운동량
  • 스핀 각운동량



고전역학의 각운동량

  • 고전적 의미에서 선운동량(linear momentum)이 물체가 직선운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다. 이와 유사하게 각운동량(angular momentum)이란 물체가 회전운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다.
  • 회전운동의 크기는 회전반지름, 물체의 질량, 회전속도에 비례해야 할 것이다. 여기에 방향을 고려하면 각운동량 벡터 \(\mathbf{\Omega}\)는 아래와 같이 정의된다. 방향을 정의할 때는 관습에 따라 오른손 규약을 따른다

\[\mathbf{\Omega}=\mathbf{x}\times \mathbf{p}\]

  • \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\), \(\mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3)\)로 두면, 각운동량 벡터의 각 성분은 \(\Omega_j =\epsilon_{jkl} x_k p_l\) 로 주어진다
  • 포아송 괄호를 다음과 같이 정의하자

\[ \{f,g\} : = \sum_{i=1}^{3} \left[ \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial x_{i}} \right] \]

  • 각운동량 벡터의 각 성분은 다음을 만족한다

\[ \{\Omega_{i},\Omega_{j}\}=\epsilon_{ijk}\Omega_{k} \] 풀어 쓰면, \[ \{\Omega_1 , \Omega_2 \} = \Omega_3 \\ \{\Omega_2 , \Omega_3 \} = \Omega_1 \\ \{\Omega_3 , \Omega_1 \} = \Omega_2 \]



양자화된 궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)

  • 위치 연산자와 운동량 연산자의 양자화

\[[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\]\[\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}\]

  • 3차원에서는 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다. 이는 불확정성의 원리와 관계가 있다.

\[ [\hat{x}_k , \hat{p}_l ] = i \hbar \delta_{kl} I \label{xp} \]

  • 수소원자를 이루는 전자의 각운동량은 3차원 직각좌표계를 도입할 때 \(\mathbf{L} = (L_1 ,L_2 ,L_3)\) 와 같이 세 개의 성분으로 표시 가능. 여기서 세 성분은 다음과 같이 주어지게 된다

\[L_j =\epsilon_{jkl} \hat{x}_k \hat{p}_l\]

  • 불확정성의 원리에 기반하여 실험적으로는 아무리 측정을 잘 해도 이 세 성분을 정확히 측정하는 것은 불가능함.
  • 관계식 \ref{xp}로부터 각운동량의 각 성분들에 대한 아래의 교환자 관계식을 얻는다.

\[[L_i , L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k\] 풀어 쓰면, \[ [L_1 , L_2 ] = i \hbar L_3 \\ [L_2 , L_3 ] = i \hbar L_1 \\ [L_3 , L_1 ] = i \hbar L_2 \]



스핀각운동량(Spin Angular Momentum)

  • 스핀각운동량에 관하여도 유사한 논리가 성립한다.\[[S_i , S_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} S_k\]



3-j 기호



역사



메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료



리뷰논문, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Bitencourt, Ana Carla P., Mirco Ragni, Robert G. Littlejohn, Roger Anderson, and Vincenzo Aquilanti. “The Screen Representation of Vector Coupling Coefficients or Wigner 3j Symbols: Exact Computation and Illustration of the Asymptotic Behavior.” arXiv:1409.8205 [gr-Qc, Physics:math-Ph, Physics:quant-Ph] 8579 (2014): 468–81. doi:10.1007/978-3-319-09144-0_32.


관련도서

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