"린데만-바이어슈트라스 정리"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:42 기준 최신판

개요

린데만-바이어슈트라스 정리

서로 다른 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

또는

대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 \(\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})\)의 transcendence degree가 n이다.

지수함수와 초월수

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.

(증명)

\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\)  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서\(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. ■

지수함수의 실수부와 허수부

실수가 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\operatorname{Re}e^{\alpha}\)와 \(\operatorname{Im}e^{\alpha}\)는 초월수이다.

(증명)

\(\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta\)가 대수적수라고 가정하자. \(\beta\)가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다.

\(\alpha=a+bi\) 라 하면, \(2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}\)이다.

\(e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0\)

이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다. ■

로그함수의 경우

지수함수의 경우로부터 다음을 얻는다.

0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\log \alpha\) 는 초월수이다.

삼각함수의 경우

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\sin {\alpha}\)는 초월수이다.

(증명) \(\{i\alpha,0 -i\alpha\}\) 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여 \[\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\] 는 초월수이다. (증명끝)

마찬가지로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\cos \alpha\)는 초월수이다. ■

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\)에 대하여 \(\tan \alpha\)는 초월수이다.

(증명)

\(\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}\)가 대수적수라고 가정하자.

\(\beta i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})= e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}\)

\((1-i\beta){e^{i\alpha}-(1+i\beta)e^{-i\alpha}}=0\)

이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 모순. ■

\(\pi\) 는 초월수이다

파이는 초월수이다 항목 참조

역사

수학사 연표

사전형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q1572474

Spacy 패턴 목록

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 ==개요==
 ==린데만-바이어슈트라스 정리==
-서로 다른 대수적수  <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.
+서로 다른 대수적수  <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.
 또는
-대수적 수 <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 가 유리수체 위에서 선형독립이면, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 <math>\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})</math>의 transcendence degree가 n이다.
+대수적 수 <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 가 유리수체 위에서 선형독립이면, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 <math>\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})</math>의 transcendence degree가 n이다.
 ==지수함수와 초월수==
-이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다.
+이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다.
 (증명)
- <math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math>  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서<math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. ■
+ <math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math>  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서<math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. ■
 ==지수함수의 실수부와 허수부==
-실수가 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\operatorname{Re}e^{\alpha}</math>와 <math>\operatorname{Im}e^{\alpha}</math>는 초월수이다.
+실수가 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\operatorname{Re}e^{\alpha}</math>와 <math>\operatorname{Im}e^{\alpha}</math>는 초월수이다.
 (증명)
-<math>\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta</math>가 대수적수라고 가정하자. <math>\beta</math>가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다.
+<math>\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta</math>가 대수적수라고 가정하자. <math>\beta</math>가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다.
-<math>\alpha=a+bi</math> 라 하면, <math>2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}</math>이다.
+<math>\alpha=a+bi</math> 라 하면, <math>2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}</math>이다.
 <math>e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0</math>
-이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다.  ■
+이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다.  ■
 ==로그함수의 경우==
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 지수함수의 경우로부터 다음을 얻는다.
-또는 1이 아닌 실수인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\log \alpha</math> 는 초월수이다.
+또는 1이 아닌 실수인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\log \alpha</math> 는 초월수이다.
 ==삼각함수의 경우==
-이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\sin {\alpha}</math>는 초월수이다.
+이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\sin {\alpha}</math>는 초월수이다.
 (증명)
-<math>\{i\alpha,0 -i\alpha\}</math> 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여
+<math>\{i\alpha,0 -i\alpha\}</math> 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여
 :<math>\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}</math>
-는 초월수이다.  (증명끝)
+는 초월수이다.  (증명끝)
-마찬가지로 0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\cos \alpha</math>는 초월수이다.  ■
+마찬가지로 0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\cos \alpha</math>는 초월수이다.  ■
-이 아닌 대수적수  <math>\alpha</math>에 대하여 <math>\tan \alpha</math>는 초월수이다.
+이 아닌 대수적수  <math>\alpha</math>에 대하여 <math>\tan \alpha</math>는 초월수이다.
 (증명)
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 <math>(1-i\beta){e^{i\alpha}-(1+i\beta)e^{-i\alpha}}=0</math>
-이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 모순.  ■
+이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 모순.  ■
-==<math>\pi</math> 는 초월수이다==
+==<math>\pi</math> 는 초월수이다==
-* [[파이 π는 초월수이다|파이는 초월수이다]] 항목 참조<br>
+* [[파이 π는 초월수이다|파이는 초월수이다]] 항목 참조
 ==역사==
-* [[수학사 연표]]<br>
+* [[수학사 연표]]
-<br>
 ==관련된 다른 주제들==
 ==사전형태의 자료==
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 * http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_independence
 ==관련링크 및 웹페이지==
-* [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/main785.html Transcendental number theory]<br>
+* [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/main785.html Transcendental number theory]
-** Michael Filaseta, Lecture notes
+** Michael Filaseta, Lecture notes
 ** [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes7.pdf Lindemann's Theorem]
+[[분류:무리수와 초월수]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1572474 Q1572474]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'lindemann'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
+* [{'LOWER': 'hermite'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'lindemann'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
+* [{'LOWER': 'hermite'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'lindemann'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'theorem'}]

"린데만-바이어슈트라스 정리"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:42 기준 최신판

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