"엡슈타인 제타함수"의 두 판 사이의 차이
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− | * [[실해석적 아이젠슈타인 급수]] | + | * [[실해석적 아이젠슈타인 급수]]의 특수한 경우 |
* [[라마누잔의 class invariants]]를 계산하는데 사용가능하며, 왜 실수이차체의 unit 이 등장하는지를 설명해줌 | * [[라마누잔의 class invariants]]를 계산하는데 사용가능하며, 왜 실수이차체의 unit 이 등장하는지를 설명해줌 | ||
==이차형식과 제타함수== | ==이차형식과 제타함수== | ||
+ | * <math>\tau=x+iy\in \mathbb{C}</math>에 대하여, <math>|m\tau+n|^{2}=m^2 (x^2+y^2)+2 m n x+n^2</math> | ||
+ | * 양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)|정수계수이차형식]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>이고 <math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 Epstein 제타함수를 다음과 같이 정의 | ||
+ | :<math>\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cY^2)^s}</math> | ||
− | * | + | * <math>\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}</math> 인 경우 ( <math>-\Delta=|\Delta|</math> ) |
+ | * [[실해석적 아이젠슈타인 급수]]과 다음과 같은 관계 | ||
+ | :<math>E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)</math> | ||
+ | :<math>\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)</math> | ||
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+ | <math>\zeta_Q(s)</math>의 <math>s=1</math>에서의 로랑전개는 다음과 같다 | ||
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+ | \zeta_Q(s) & = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right)+O(s-1) \\ | ||
+ | {}&=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|})\right)- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1) | ||
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+ | 여기서 :<math>\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a},y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}</math> | ||
+ | * [[크로네커 극한 공식]] 참조 | ||
− | + | ;따름정리 | |
− | + | 판별식이 같은 즉 <math>m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2</math> 인 두 양의정부호 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와 <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> 에 대하여, 다음이 성립한다. | |
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− | + | \lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) & = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\right)\\ | |
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− | 판별식이 같은 즉 <math>m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2</math> 인 두 양의정부호 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와 <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> 에 대하여, | ||
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==라마누잔 class invariants 와의 관계== | ==라마누잔 class invariants 와의 관계== | ||
− | + | * 두 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2</math>와 <math>Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2</math>, <math>m=2ac</math>에 대하여 위의 따름정리를 적용하면, | |
− | <math>Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2</math>와 <math>Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2</math>, <math>m=2ac</math>에 대하여 위의 따름정리를 적용하면, | + | :<math>\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\right)=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}</math> |
− | + | 여기서 <math>\tau=i\sqrt\frac{2c}{a}</math>, <math>\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}</math> | |
− | + | :<math>g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}</math> | |
− | + | * [[라마누잔의 class invariants]] 참조 | |
− | <math>\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\ | ||
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− | * [[라마누잔의 class invariants]] 참조 | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
− | + | * [[크로네커 극한 공식]] | |
− | * [[ | + | * [[Chowla-셀베르그 공식]] |
− | * [[모든 자연수의 곱과 리만제타함수]] | + | * [[이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식]] |
− | + | * [[모든 자연수의 곱과 리만제타함수]] | |
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==수학용어번역== | ==수학용어번역== | ||
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==사전 형태의 자료== | ==사전 형태의 자료== | ||
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Epstein_zeta_function | * http://en.wikipedia.org/wiki/Epstein_zeta_function | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula | * http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula | ||
− | * | + | * https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Epstein |
* http://mathworld.wolfram.com/EpsteinZetaFunction.html | * http://mathworld.wolfram.com/EpsteinZetaFunction.html | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
− | + | * Baier, Stephan, Srinivas Kotyada, and Usha Keshav Sangale. “A Note on the Gaps between Zeros of Epstein’s Zeta-Functions on the Critical Line.” arXiv:1602.06069 [math], February 19, 2016. http://arxiv.org/abs/1602.06069. | |
− | * [http://projecteuclid.org/euclid.tjm/1270472992 A Proof of the Classical Kronecker Limit Formula] | + | * Andersson, Johan, and Anders Södergren. “On the Universality of the Epstein Zeta Function.” arXiv:1508.05836 [math], August 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.05836. |
− | ** Takuro SHINTANI. Source: Tokyo J. of Math. Volume 03, Number 2 (1980), 191-199 | + | * [http://projecteuclid.org/euclid.tjm/1270472992 A Proof of the Classical Kronecker Limit Formula] |
− | + | ** Takuro SHINTANI. Source: Tokyo J. of Math. Volume 03, Number 2 (1980), 191-199 | |
− | * [http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/9/8/007 A systematic approach to the evaluation of | + | * [http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/9/8/007 A systematic approach to the evaluation of <math>\sum_{m,n>0}(am^2+bmn+cn^2)^{-s}</math>] |
− | ** I J Zucker et al 1976 J. Phys. A: Math. Gen. 9 1215-1225 | + | ** I J Zucker et al 1976 J. Phys. A: Math. Gen. 9 1215-1225 |
− | * [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function] | + | * [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function] |
− | ** S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967 | + | ** S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967 |
− | * [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063041/ On Epstein's Zeta Function (I)] | + | * [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063041/ On Epstein's Zeta Function (I)] |
** S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374 | ** S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374 | ||
− | * [http://www.jstor.org/stable/1968602 On Epstein's Zeta Function] | + | * [http://www.jstor.org/stable/1968602 On Epstein's Zeta Function] |
** Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593 | ** Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593 | ||
− | * | + | |
− | * | + | ==메타데이터== |
+ | ===위키데이터=== | ||
+ | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q7301121 Q7301121] | ||
+ | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
+ | * [{'LOWER': 'real'}, {'LOWER': 'analytic'}, {'LOWER': 'eisenstein'}, {'LEMMA': 'series'}] |
2021년 2월 17일 (수) 03:47 기준 최신판
개요
- 실해석적 아이젠슈타인 급수의 특수한 경우
- 라마누잔의 class invariants를 계산하는데 사용가능하며, 왜 실수이차체의 unit 이 등장하는지를 설명해줌
이차형식과 제타함수
- \(\tau=x+iy\in \mathbb{C}\)에 대하여, \(|m\tau+n|^{2}=m^2 (x^2+y^2)+2 m n x+n^2\)
- 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\)이고 \(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 Epstein 제타함수를 다음과 같이 정의
\[\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cY^2)^s}\]
- \(\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\) 인 경우 ( \(-\Delta=|\Delta|\) )
- 실해석적 아이젠슈타인 급수과 다음과 같은 관계
\[E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)\] \[\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)\]
- 정리
\(\zeta_Q(s)\)의 \(s=1\)에서의 로랑전개는 다음과 같다 \[ \begin{aligned} \zeta_Q(s) & = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right)+O(s-1) \\ {}&=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|})\right)- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1) \end{aligned} \] 여기서 \[\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a},y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\]
- 크로네커 극한 공식 참조
- 따름정리
판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 양의정부호 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와 \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여, 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} \lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) & = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\right)\\ {} & =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\} \end{aligned} \] 여기서 \(\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\), \(\omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\)
라마누잔 class invariants 와의 관계
- 두 이차형식 \(Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2\)와 \(Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2\), \(m=2ac\)에 대하여 위의 따름정리를 적용하면,
\[\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\right)=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}\] 여기서 \(\tau=i\sqrt\frac{2c}{a}\), \(\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}\) \[g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}\]
관련된 항목들
수학용어번역
- Epstein - 발음사전 Forvo
사전 형태의 자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/Epstein_zeta_function
- http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula
- https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Epstein
- http://mathworld.wolfram.com/EpsteinZetaFunction.html
관련논문
- Baier, Stephan, Srinivas Kotyada, and Usha Keshav Sangale. “A Note on the Gaps between Zeros of Epstein’s Zeta-Functions on the Critical Line.” arXiv:1602.06069 [math], February 19, 2016. http://arxiv.org/abs/1602.06069.
- Andersson, Johan, and Anders Södergren. “On the Universality of the Epstein Zeta Function.” arXiv:1508.05836 [math], August 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.05836.
- A Proof of the Classical Kronecker Limit Formula
- Takuro SHINTANI. Source: Tokyo J. of Math. Volume 03, Number 2 (1980), 191-199
- A systematic approach to the evaluation of \(\sum_{m,n>0}(am^2+bmn+cn^2)^{-s}\)
- I J Zucker et al 1976 J. Phys. A: Math. Gen. 9 1215-1225
- On Epstein's Zeta-function
- S. Chowla; A. Selberg, J. reine angew. Math. 227, 86-110, 1967
- On Epstein's Zeta Function (I)
- S. Chowla and A. Selberg Proc Natl Acad Sci U S A. 1949 July; 35(7): 371–374
- On Epstein's Zeta Function
- Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
메타데이터
위키데이터
- ID : Q7301121
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'real'}, {'LOWER': 'analytic'}, {'LOWER': 'eisenstein'}, {'LEMMA': 'series'}]