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==쌍곡기하학의 삼각형의 넓이==
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사람들은 유클리드 기하학이 가장 쉬운 기하학이라고 생각을 하지만, 삼각형의 넓이 구하는 일을 생각하면 꼭 그렇지가 않다. 초등학교에 가면 삼각형의 넓이 구하는 방법을 가르쳐주는데, 변의 길이를 적어도 하나는 꼭 알아야 한다. 그런데 쌍곡기하학에서는 변의 길이를 알 필요가 전혀 없다. '''각도가 모든 것을 결정한다'''!!! 삼각형의 세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어져 있다면 그 넓이는 <math>\pi - \alpha- \beta- \gamma</math> 가 된다.
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==(2,3,7)-삼각형을 이용한 테셀레이션==
 
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* (2,3,7)이란 삼각형의 세 각이 각각 <math>\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math> 임을 의미
 
* (2,3,7)이란 삼각형의 세 각이 각각 <math>\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math> 임을 의미
 
* 이 세각의 크기를 모두 더하면, 180도보다 작게 됨을 확인할 수 있다
 
* 이 세각의 크기를 모두 더하면, 180도보다 작게 됨을 확인할 수 있다
 
:<math>\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}</math>
 
:<math>\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}</math>
 
* '''쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다'''
 
* '''쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다'''
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* 단위원판을 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형
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* <math>1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})</math>를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.
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* 그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 그러기 위해서는 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는 :<math>\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}</math>로 주어진다.
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* 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는 :<math>\pi-\frac{\pi}{7}-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{42}</math>
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==<math>(2,3,\infty)</math>-삼각형==
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* 가령 아래 그림 역시 쌍곡기하학의 그림인데, [[모듈라 군(modular group)]]이라고 하는 수학적으로 매우 중요한 대상을 공부할 때, 반드시 등장한다. 참고로 이 그림에 등장하는 삼각형은 <math> (2, 3, \infty)</math>이다.
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==반전사상==
 
* [[반전 사상(inversion)]]은 [[푸앵카레 unit disk 모델]]에서, 모든 점들의 길이를 보존하는 등거리사상
 
* [[반전 사상(inversion)]]은 [[푸앵카레 unit disk 모델]]에서, 모든 점들의 길이를 보존하는 등거리사상
 
* 따라서 아래의 그림에 있는 삼각형들은 쌍곡기하학의 관점에서 보면, 모두 그 크기와 모양이 똑같음.
 
* 따라서 아래의 그림에 있는 삼각형들은 쌍곡기하학의 관점에서 보면, 모두 그 크기와 모양이 똑같음.
[[파일:1922438-tess2.gif]]
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[[파일:237테셀레이션.gif]]
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==메모==
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* 황금가지에서 나온 '파운데이션 1'의 표지그림 http://goldenbough.minumsa.com/book/1275/
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==관련된 항목들==
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* [[Fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리]]
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* [[클라인의 4차곡선]]
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* [[컴팩트 리만곡면의 자기동형군에 대한 Hurwitz 정리]]
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* [[낙타 17마리와 세 아들 우화]]
  
  
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTTNiWEVhdXpHdlE/edit
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTTNiWEVhdXpHdlE/edit
 
** 코드 해설은 [http://www.amazon.com/Complex-Analysis-MATHEMATICA%C2%AE-William-Shaw/dp/0521836263 Complex analysis with Mathematica], Chapter 22. 참조
 
** 코드 해설은 [http://www.amazon.com/Complex-Analysis-MATHEMATICA%C2%AE-William-Shaw/dp/0521836263 Complex analysis with Mathematica], Chapter 22. 참조
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==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/%282,3,7%29_triangle_group
 
[[분류:테셀레이션]]
 
[[분류:테셀레이션]]
 
[[분류:쌍곡기하학]]
 
[[분류:쌍곡기하학]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q4542150 Q4542150]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'OP': '*'}, {'LOWER': '2,3,7'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'triangle'}, {'LEMMA': 'group'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:25 기준 최신판

개요

  • 공간을 똑같이 생긴 삼각형으로 채운 그림에는 위상수학, 미분기하학, 군론 등등 많은 수학이 들어 있다


쌍곡기하학의 삼각형의 넓이

사람들은 유클리드 기하학이 가장 쉬운 기하학이라고 생각을 하지만, 삼각형의 넓이 구하는 일을 생각하면 꼭 그렇지가 않다. 초등학교에 가면 삼각형의 넓이 구하는 방법을 가르쳐주는데, 변의 길이를 적어도 하나는 꼭 알아야 한다. 그런데 쌍곡기하학에서는 변의 길이를 알 필요가 전혀 없다. 각도가 모든 것을 결정한다!!! 삼각형의 세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어져 있다면 그 넓이는 \(\pi - \alpha- \beta- \gamma\) 가 된다.



(2,3,7)-삼각형을 이용한 테셀레이션

(2,3,7)-삼각형

  • (2,3,7)이란 삼각형의 세 각이 각각 \(\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\) 임을 의미
  • 이 세각의 크기를 모두 더하면, 180도보다 작게 됨을 확인할 수 있다

\[\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\]

  • 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다
  • 단위원판을 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형
  • \(1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})\)를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.
  • 그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 그러기 위해서는 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는 \[\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\]로 주어진다.
  • 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는 \[\pi-\frac{\pi}{7}-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{42}\]


2차원 쌍곡기하학의 테셀레이션1.gif


\((2,3,\infty)\)-삼각형

  • 가령 아래 그림 역시 쌍곡기하학의 그림인데, 모듈라 군(modular group)이라고 하는 수학적으로 매우 중요한 대상을 공부할 때, 반드시 등장한다. 참고로 이 그림에 등장하는 삼각형은 \( (2, 3, \infty)\)이다.

3065168-dedekind1877.gif


반전사상

237테셀레이션.gif

메모

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'OP': '*'}, {'LOWER': '2,3,7'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'triangle'}, {'LEMMA': 'group'}]