푸앵카레 unit disk 모델

개요

• 쌍곡기하학의 모델이 되는 리만다양체
• 푸앵카레 상반평면 모델과 동형 (리만다양체로서 또는 리만곡면으로서)

정의

• \(\mathbb{D}^2=\{z=x+iy\in \mathbb{C}:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}\)

제1기본형식

• 리만 메트릭\[ds^2=\frac{4(dx^2+dy^2)}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}=\frac{4dzd\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}\]
• \(E=\frac{4}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}\)
• \(F=0\)
• \(G=\frac{4}{\left(1-x^2-y^2\right)^2}\)

크리스토펠 기호

• 크리스토펠 기호

\[\begin{array}{ll} \Gamma _ {11}^1 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {12}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {21}^1 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {22}^1 & \frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {11}^2 & \frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {12}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {21}^2 & -\frac{2 x}{-1+x^2+y^2} \\ \Gamma _ {22}^2 & -\frac{2 y}{-1+x^2+y^2} \end{array}\]

• 가우스곡률 은 -1 이다

라플라시안

• 라플라시안\[\Delta f=\frac{1}{4} \left(1-x^2-y^2\right)^2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\right)\]

측지선

• 측지선이 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다

\[\frac{d^2 x}{dt^2} + \Gamma^{1}_{~1 2 }\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt} +\Gamma^{1}_{~2 1}\frac{dx }{dt}\frac{dy }{dt}= 0\] \[\frac{d^2 y }{dt^2} + \Gamma^{2}_{~1 1 }\frac{dx }{dt}\frac{dx }{dt}+\Gamma^{2}_ {~2 2}\frac{dy }{dt}\frac{dy }{dt} = 0\]

• 계산된 크리스토펠 심볼을 사용하면\[x''(t)+\frac{2 x y'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{2 x x'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{4 y x'(t) y'(t)}{x^2+y^2-1}=0\]\[y''(t)-\frac{2 y y'(t)^2}{x^2+y^2-1}+\frac{2 y x'(t)^2}{x^2+y^2-1}-\frac{4 x x'(t) y'(t)}{x^2+y^2-1}=0\]

리만 텐서

\(\begin{array}{ll} \begin{array}{ll} R_ {111}^1 & 0 \\ R_ {112}^1 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {121}^1 & 0 \\ R_ {122}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {211}^1 & 0 \\ R_ {212}^1 & -\frac{4}{\left(x^2+y^2-1\right)^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {221}^1 & \frac{4}{\left(x^2+y^2-1\right)^2} \\ R_ {222}^1 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {111}^2 & 0 \\ R_ {112}^2 & \frac{4}{\left(x^2+y^2-1\right)^2} \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {121}^2 & -\frac{4}{\left(x^2+y^2-1\right)^2} \\ R_ {122}^2 & 0 \end{array} \\ \begin{array}{ll} R_ {211}^2 & 0 \\ R_ {212}^2 & 0 \end{array} & \begin{array}{ll} R_ {221}^2 & 0 \\ R_ {222}^2 & 0 \end{array} \end{array}\)

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• http://egl.math.umd.edu/software.html
• http://www-users.math.umd.edu/~rfhoban/Shadows/PoincareUnitDisk.nb

관련된 항목들

• 케일리 뫼비우스 변환
• 서로 만나는 두 원이 이루는 각도
• 에셔 스타일의 그림그리기

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcFpvZmhCal9QSDQ/edit

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_disk_model
• http://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_metric

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Henri Poincaré and the Disc Model of non-Euclidean Geometry

메타데이터

위키데이터

• ID : Q2617832

Spacy 패턴 목록

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