쌍곡기하학

개요

일반적으로 비유클리드 기하학을 말할때 지칭하는 기하학
쌍곡평면에서는 한 직선\(\ell\)과 그 직선 위에 있지 않은 한 점\(P\)가 주어져 있을때, \(P\)를 지나는 \(\ell\)과 평행한 직선이 무수히 많이 존재
곡률이 음인 공간에서의 기하학을 지칭하는 말
곡률이 음인 공간은 3차원 상에서 각 점이 말안장처럼 보이게 된다
쌍곡면은 쌍곡기하학의 모델을 제공하므로 쌍곡기하학이라 부르게 되었다

쌍곡기하학의 두가지 모델

푸앵카레 상반평면 모델

\(\mathbb{H}^2=\{z=x+iy\in\mathbb{C}|y>0\}\)\[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2}\]
푸앵카레 상반평면 모델에서 자세히 다룸

푸앵카레 unit disk 모델

푸앵카레 unit disk 모델

\[U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{x^2+y^2} < 1 \}\] \[ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}\]

쌍곡기하학의 테셀레이션

(2,3,7)-삼각형을 이용한 테셀레이션
(2,3,7)이란 삼각형의 세 각이 각각 \[\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\]

라는 것을 말한다. 이 세각의 크기를 모두 더하면,\[\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\] 가 되어, 180도보다 작게 됨을 알 수 있다. 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.

2차원 쌍곡기하학의 테셀레이션 항목 참조

역사

1824년 가우스의 쌍곡기하학에 대한 연구
1829년 로바체프스키 쌍곡기하학에 대한 출판
1832년 볼리아이
1868년 벨트라미는 비유클리드 기하학이 음의 곡률을 갖는 곡면위의 기하학임을 보임
[Milnor1982]
수학사 연표

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Mahan Mj, What is hyperbolic geometry? Asia Pacific Mathematics Newsletter 2013, http://www.asiapacific-mathnews.com/03/0301/0001_0005.pdf
James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry, Hyperbolic Geometry, 1997, MSRI Publications, volume 31.
Shenitzer, Abe. “How Hyperbolic Geometry Became Respectable.” The American Mathematical Monthly 101, no. 5 (May 1, 1994): 464–70. doi:10.2307/2974912.
[Milnor1982], John W. Milnor Hyperbolic geometry: The first 150 years, Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982), 9-24.

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