로바체프스키 함수

수학노트
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개요[편집]

  • 다이로그 함수(dilogarithm )의 변종으로 이해할 수 있다
  • 로바체프스키 함수의 정의:<math>\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}</math>
  • 로바체프스키 함수는 쌍곡기하학의 연구에서 등장하였으며, 3차원 쌍곡다양체의 부피를 표현하는데 유용하다
  • 클라우센 함수(Clausen function) 와의 관계:<math>\operatorname{Cl}_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)</math>



다이로그 함수와의 관계[편집]

<math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math>
  • <math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속
  • <math>z=e^{2i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}</math>
  • 따라서 <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때, :<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)</math>


그래프[편집]

  • <math>\Lambda(\theta)</math>는 기함수이고, <math>\pi</math> 를 주기로 가짐

로바체프스키 함수1.png

  • <math>\theta=\pi/6+n\pi</math>일 때 최대값을 가진다

로바체프스키 함수2.png


멱급수 전개[편집]

  • <math>0 < \theta <\pi</math> 일 때,
<math>\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}</math>

여기서 <math>B_{2n}</math>은 베르누이 수


덧셈공식[편집]

$$ \Lambda (2\theta )=2 \left(\Lambda (\theta )+\Lambda (\theta +\frac{\pi }{2})\right) $$ $$ \Lambda (3\theta )=3 \left(\Lambda (\theta )+\Lambda (\theta +\frac{\pi }{3})+\Lambda (\theta +\frac{2 \pi }{3})\right) $$

정리

자연수 $n$에 대하여 다음이 성립한다 $$ \Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n}) $$

증명

다음을 이용하자

<math>2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})</math>

양변의 절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,다음을 얻는다

<math>\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C \label{feq}

</math> 이제 $C=0$임을 보이면 된다. <math>n=2</math>인 경우를 생각하자

<math>\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C</math>

<math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> 이면,

<math>\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi)+C</math>

<math>\theta=0</math> 이면,

<math>\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C</math>

두 식으로부터

<math>\Lambda(\pi)=\Lambda(0)</math>을 얻는다.

한편, <math>\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|</math> 는 <math>\pi</math> 를 주기로 가지므로, <math>\Lambda(\theta)</math> 역시 <math>\pi</math>를 주기로 갖는 함수가 된다. 즉

<math>\Lambda(\theta+\pi)=\Lambda(\theta)\label{per}</math>

이제 \ref{feq}에 기함수의 성질 $\Lambda(-\theta)=-\Lambda(\theta)$과 \ref{per}를 적용하여, <math>C=0</math>을 얻는다. ■


3차원 쌍곡기하학과의 관계[편집]

  • 이면각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어진 ideal tetrahedron <math>T</math>에 대하여, 다음이 성립한다
    • <math>\alpha+\beta+\gamma=\pi</math>
    • <math>\operatorname{Vol}(T)=\Lambda(\alpha)+\Lambda(\beta)+\Lambda(\gamma)</math>
  • 이면각 (dihedral angles) : 주어진 모서리를 공유하는 두 면이 이루는 각


special values[편집]

  • $2\Lambda(\frac{\pi}{6})=3\Lambda(\frac{\pi}{3})=\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})$
  • $6\Lambda(\frac{\pi}{3})=2.0298832128193072500\cdots$
    • figure-eight 매듭 K에 의해 정의되는 3차원 쌍곡다양체 $S^3-K$의 부피
  • $2\Lambda(\frac{\pi}{4})+\Lambda(\frac{\pi}{2})=0.915965594\cdots$는 카탈란 상수

역사[편집]



메모[편집]



관련된 항목들[편집]


매스매티카 파일 및 계산 리소스[편집]


관련논문[편집]


관련도서[편집]

  • John G. Ratcliffe Foundations of hyperbolic manifolds
  • Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century., Wellesley, MA: A K Peters, pp. 89-90, 2003.
  • W. Thurston The Geometry and Topology of Three-Manifolds
    • Chapter 7 (pdf)