"리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론"의 두 판 사이의 차이

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==개요==
 
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* 복소수체 위의 8차원 리대수 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})$
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* 복소수체 위의 8차원 리대수 <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})</math>
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* $\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(3,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}$
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* $A_2$ 타입의 단순 리대수
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==리대수 $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})$==
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* 기저
 
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* [[세르 관계식 (Serre relations)]]
 
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* $A_2$ 카르탄 행렬
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:<math>A=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}</math>
 
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* $A_2$ 루트 시스템
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* 바일군
 
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* <math>A_2</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^3</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
 
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==유한차원 기약 표현의 분류==
 
==유한차원 기약 표현의 분류==
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* 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2,\quad a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
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* 유한차원 기약 표현 <math>V</math>에 대하여, 적당한 dominant weight <math>\omega=a\omega_1+b\omega_2,\quad a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>가 존재하여, <math>V\cong L(\omega)</math>가 성립
 
* [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다
 
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\dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{2} (a+1) (b+1) (a+b+2)
 
\dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{2} (a+1) (b+1) (a+b+2)
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==기약표현의 예==
 
==기약표현의 예==
 
* 아래의 그림에서 빨간색 원은 highest weight, 숫자는 각 weight 공간의 차원을 의미
 
* 아래의 그림에서 빨간색 원은 highest weight, 숫자는 각 weight 공간의 차원을 의미
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* 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의
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* 표현 <math>V=L(\lambda)</math>의 지표를 다음과 같이 정의
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\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
 
\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
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* $x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2}$로 두면, $\chi_{\lambda}$는 $\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm}]$의 원소가 된다
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* <math>x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2}</math>로 두면, <math>\chi_{\lambda}</math>는 <math>\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm}]</math>의 원소가 된다
 
* [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조
 
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===예1===
 
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* fundamental 표현, highest weight은 $\omega_1$
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* 3차원 표현
 
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* 지표
 
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\chi_{\omega_1}=x_1+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}
 
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* weight diagram
 
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===예2===
 
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* adjoint 표현, highest weight은 $\omega_1+\omega_2$
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* 8차원 표현
 
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* 지표
 
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\chi_{\omega_1+\omega_2}=\frac{x_1^2}{x_2}+x_2 x_1+\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{1}{x_1 x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}+2
 
\chi_{\omega_1+\omega_2}=\frac{x_1^2}{x_2}+x_2 x_1+\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{1}{x_1 x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}+2
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* weight diagram
 
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===예3===
 
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* highest weight이 $3\omega_1+2\omega_2$로 주어진 기약표현
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* 42차원 표현
 
* 42차원 표현
 
* 지표
 
* 지표
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\begin{align}
 
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\chi_{3\omega_1+2\omega_2}&=
 
\chi_{3\omega_1+2\omega_2}&=
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&+\frac{1}{x_1^3 x_2}+\frac{2}{x_1 x_2^2}+\frac{1}{x_1^2 x_2^3}+\frac{1}{x_2^4}+\frac{x_2^4}{x_1}+\frac{3 x_2}{x_1}
 
&+\frac{1}{x_1^3 x_2}+\frac{2}{x_1 x_2^2}+\frac{1}{x_1^2 x_2^3}+\frac{1}{x_2^4}+\frac{x_2^4}{x_1}+\frac{3 x_2}{x_1}
 
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* weight diagram
 
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[[파일:리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론3.png]]
 
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2020년 11월 13일 (금) 16:33 기준 최신판

개요

  • 복소수체 위의 8차원 리대수 \(\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})\)
  • \(\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(3,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}\)
  • \(A_2\) 타입의 단순 리대수


리대수 \(\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})\)

  • 기저

\[ \begin{array}{|rcl|} \hline h_1 & = & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline h_2 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \\ \hline e_1 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline e_2 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline e_3 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline f_1 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline f_2 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline f_3 & = & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \\ \hline \end{array} \]

\[A=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\]

  • \(A_2\) 루트 시스템

\[\Phi=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2,-\alpha_1,-\alpha_2,-\alpha_1-\alpha_2\}\]

  • 바일군

\[ \{s(),s(1),s(2),s(1,2),s(2,1),s(1,2,1)\} \]

  • \(A_2\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^3\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
    • \(\alpha_1=(1,-1,0)\)
    • \(\alpha_2=(0,1,-1)\)
    • \(\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2=(1,0,-1)\)
  • fundamental weights
    • \(\omega_1=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})\)
    • \(\omega_2=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})\)
  • 바일 벡터 \(\rho=(1,0,-1)\)


유한차원 기약 표현의 분류

  • 유한차원 기약 표현 \(V\)에 대하여, 적당한 dominant weight \(\omega=a\omega_1+b\omega_2,\quad a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)가 존재하여, \(V\cong L(\omega)\)가 성립
  • 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

\[ \dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{2} (a+1) (b+1) (a+b+2) \]


기약표현의 예

  • 아래의 그림에서 빨간색 원은 highest weight, 숫자는 각 weight 공간의 차원을 의미
  • 표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표를 다음과 같이 정의

\[ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \]


예1

  • fundamental 표현, highest weight은 \(\omega_1\)
  • 3차원 표현
  • 지표

\[ \chi_{\omega_1}=x_1+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} \]

  • weight diagram

리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론1.png


예2

  • adjoint 표현, highest weight은 \(\omega_1+\omega_2\)
  • 8차원 표현
  • 지표

\[ \chi_{\omega_1+\omega_2}=\frac{x_1^2}{x_2}+x_2 x_1+\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{1}{x_1 x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}+2 \]

  • weight diagram

리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론2.png


예3

  • highest weight이 \(3\omega_1+2\omega_2\)로 주어진 기약표현
  • 42차원 표현
  • 지표

\[ \begin{align} \chi_{3\omega_1+2\omega_2}&= \frac{x_1^5}{x_2^2}+\frac{x_1^4}{x_2^3}+x_1^4+x_2^2 x_1^3+\frac{2 x_1^3}{x_2}+\frac{x_1^3}{x_2^4}+2 x_2 x_1^2+\frac{2 x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_1^2}{x_2^5}+x_2^3 x_1\\ &+\frac{2 x_1}{x_2^3}+3 x_1+\frac{x_2^5}{x_1^3}+\frac{x_2^4}{x_1^4}+\frac{2 x_2^3}{x_1^2}+\frac{x_2^3}{x_1^5}+\frac{2 x_2^2}{x_1^3}+2 x_2^2+\frac{x_2}{x_1^4}+\frac{2}{x_1^2}+\frac{3}{x_2}\\ &+\frac{1}{x_1^3 x_2}+\frac{2}{x_1 x_2^2}+\frac{1}{x_1^2 x_2^3}+\frac{1}{x_2^4}+\frac{x_2^4}{x_1}+\frac{3 x_2}{x_1} \end{align} \]

  • weight diagram

리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론3.png


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

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