"리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론"의 두 판 사이의 차이

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(새 문서: ==개요== * 복소수체 위의 15차원 리대수 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$ * $\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}$ * $A_3$ ...)
 
 
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==개요==
 
==개요==
* 복소수체 위의 15차원 리대수 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$
+
* 복소수체 위의 15차원 리대수 <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})</math>
* $\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}$
+
* <math>\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}</math>
* $A_3$ 타입의 단순 리대수
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* <math>A_3</math> 타입의 단순 리대수
  
  
==리대수 $\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$==
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==리대수 <math>\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})</math>==
 
* 기저
 
* 기저
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* $A_3$ 카르탄 행렬
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* <math>A_3</math> 카르탄 행렬
 
:<math>A=\left(
 
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\right)</math>
 
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* $A_3$ 루트 시스템
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* <math>A_3</math> 루트 시스템
 
:<math>\Phi=\left\{
 
:<math>\Phi=\left\{
 
\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\\
 
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* 바일군
 
* 바일군
$$\{s[],s[1],s[2],s[3],s[1,2],s[1,3],s[2,1],s[2,3],s[3,2],\\
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* <math>A_3</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^4</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
 
* <math>A_3</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^4</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
 
** <math>\alpha_1=(1,-1,0,0)</math>
 
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* fundamental weights
 
* fundamental weights
** $\omega_1=(3/4, -(1/4), -(1/4), -(1/4))$
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** $\omega_2=(1/2, 1/2, -(1/2), -(1/2))$
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** $\omega_3=(1/4, 1/4, 1/4, -(3/4))$
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* 바일 벡터 <math>\rho=(3/2, 1/2, -(1/2), -(3/2))</math>
 
* 바일 벡터 <math>\rho=(3/2, 1/2, -(1/2), -(3/2))</math>
  
  
 
==유한차원 기약 표현의 분류==
 
==유한차원 기약 표현의 분류==
* 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3,\quad a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
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* 유한차원 기약 표현 <math>V</math>에 대하여, 적당한 dominant weight <math>\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3,\quad a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>가 존재하여, <math>V\cong L(\omega)</math>가 성립
 
* [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다
 
* [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다
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:<math>
 
\dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{12} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (a+b+c+3)
 
\dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{12} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (a+b+c+3)
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==기약표현의 예==
 
==기약표현의 예==
* 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의
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* 표현 <math>V=L(\lambda)</math>의 지표를 다음과 같이 정의
$$
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:<math>
 
\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
 
\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
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</math>
* $x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}$로 두면, $\chi_{\lambda}$$\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]$의 원소가 된다
+
* <math>x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}</math>로 두면, <math>\chi_{\lambda}</math><math>\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]</math>의 원소가 된다
 
* [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조
 
* [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조
 
===예1===
 
===예1===
* fundamental 표현, highest weight은 $\omega_1$
+
* fundamental 표현, highest weight은 <math>\omega_1</math>
 
* 4차원 표현
 
* 4차원 표현
 
* 지표
 
* 지표
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:<math>
 
\chi_{\omega_1}=x_1+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_3}+\frac{x_3}{x_2}
 
\chi_{\omega_1}=x_1+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_3}+\frac{x_3}{x_2}
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* weight diagram
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===예2===
 
===예2===
* adjoint 표현, highest weight은 $\omega_1+\omega_3$
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* adjoint 표현, highest weight은 <math>\omega_1+\omega_3</math>
 
* 15차원 표현
 
* 15차원 표현
 
* 지표
 
* 지표
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:<math>
 
\chi_{\omega_1+\omega_3}=3+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_3^2}+\frac{1}{x_1 x_3}+\frac{x_1}{x_2 x_3}+\frac{x_1 x_2}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+x_1 x_3+\frac{x_1 x_3}{x_2^2}+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{x_2 x_3}{x_1}+\frac{x_3^2}{x_2}
 
\chi_{\omega_1+\omega_3}=3+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_3^2}+\frac{1}{x_1 x_3}+\frac{x_1}{x_2 x_3}+\frac{x_1 x_2}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+x_1 x_3+\frac{x_1 x_3}{x_2^2}+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{x_2 x_3}{x_1}+\frac{x_3^2}{x_2}
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* weight diagram
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===예3===
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* highest weight <math>\omega_1+\omega_2+\omega_3</math>
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* 64차원 표현
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* weight diagram
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[[파일:리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론4.png]]
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==

2020년 11월 13일 (금) 17:12 기준 최신판

개요

  • 복소수체 위의 15차원 리대수 \(\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})\)
  • \(\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}\)
  • \(A_3\) 타입의 단순 리대수


리대수 \(\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})\)

  • 기저

\[ \begin{array}{|rcl|} \hline h_1 & = & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline h_2 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline h_3 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right) \\ \hline e_1 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_2 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_3 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_4 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_5 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_6 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline f_i & = & e_i^t,\quad 1\leq i\leq 6 \\ \hline \end{array} \]

  • \(A_3\) 카르탄 행렬

\[A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \right)\]

  • \(A_3\) 루트 시스템

\[\Phi=\left\{ \alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\\ -\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _3,-\alpha _1-\alpha _2,-\alpha _2-\alpha _3,-\alpha _1-\alpha _2-\alpha _3 \right \}\]

  • 바일군

\[\{s[],s[1],s[2],s[3],s[1,2],s[1,3],s[2,1],s[2,3],s[3,2],\\ s[1,2,1],s[1,2,3],s[1,3,2],s[2,1,3],s[2,3,2],s[3,2,1],\\ s[1,2,1,3],s[1,2,3,2],s[1,3,2,1],s[2,1,3,2],s[2,3,2,1],s[1,2,1,3,2],s[1,2,3,2,1],s[2,1,3,2,1],s[1,2,1,3,2,1]\} \]

  • \(A_3\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^4\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
    • \(\alpha_1=(1,-1,0,0)\)
    • \(\alpha_2=(0,1,-1,0)\)
    • \(\alpha_3=(0,0,1,-1)\)

리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론1.png

  • fundamental weights
    • \(\omega_1=(3/4, -(1/4), -(1/4), -(1/4))\)
    • \(\omega_2=(1/2, 1/2, -(1/2), -(1/2))\)
    • \(\omega_3=(1/4, 1/4, 1/4, -(3/4))\)
  • 바일 벡터 \(\rho=(3/2, 1/2, -(1/2), -(3/2))\)


유한차원 기약 표현의 분류

  • 유한차원 기약 표현 \(V\)에 대하여, 적당한 dominant weight \(\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3,\quad a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)가 존재하여, \(V\cong L(\omega)\)가 성립
  • 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

\[ \dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{12} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (a+b+c+3) \]


기약표현의 예

  • 표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표를 다음과 같이 정의

\[ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \]

예1

  • fundamental 표현, highest weight은 \(\omega_1\)
  • 4차원 표현
  • 지표

\[ \chi_{\omega_1}=x_1+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_3}+\frac{x_3}{x_2} \]

  • weight diagram

리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론2.png


예2

  • adjoint 표현, highest weight은 \(\omega_1+\omega_3\)
  • 15차원 표현
  • 지표

\[ \chi_{\omega_1+\omega_3}=3+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_3^2}+\frac{1}{x_1 x_3}+\frac{x_1}{x_2 x_3}+\frac{x_1 x_2}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+x_1 x_3+\frac{x_1 x_3}{x_2^2}+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{x_2 x_3}{x_1}+\frac{x_3^2}{x_2} \]

  • weight diagram

리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론3.png


예3

  • highest weight \(\omega_1+\omega_2+\omega_3\)
  • 64차원 표현
  • weight diagram

리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론4.png


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스