"리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) (새 문서: ==개요== * 복소수체 위의 15차원 리대수 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$ * $\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}$ * $A_3$ ...) |
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* <math>A_3</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^4</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다 | * <math>A_3</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^4</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다 | ||
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− | ** | + | ** <math>\omega_2=(1/2, 1/2, -(1/2), -(1/2))</math> |
− | ** | + | ** <math>\omega_3=(1/4, 1/4, 1/4, -(3/4))</math> |
* 바일 벡터 <math>\rho=(3/2, 1/2, -(1/2), -(3/2))</math> | * 바일 벡터 <math>\rho=(3/2, 1/2, -(1/2), -(3/2))</math> | ||
==유한차원 기약 표현의 분류== | ==유한차원 기약 표현의 분류== | ||
− | * 유한차원 기약 표현 | + | * 유한차원 기약 표현 <math>V</math>에 대하여, 적당한 dominant weight <math>\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3,\quad a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>가 존재하여, <math>V\cong L(\omega)</math>가 성립 |
* [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다 | * [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다 | ||
− | + | :<math> | |
\dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{12} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (a+b+c+3) | \dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{12} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (a+b+c+3) | ||
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==기약표현의 예== | ==기약표현의 예== | ||
− | * 표현 | + | * 표현 <math>V=L(\lambda)</math>의 지표를 다음과 같이 정의 |
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\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} | \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} | ||
− | + | </math> | |
− | * | + | * <math>x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}</math>로 두면, <math>\chi_{\lambda}</math>는 <math>\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]</math>의 원소가 된다 |
* [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조 | * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조 | ||
===예1=== | ===예1=== | ||
− | * fundamental 표현, highest weight은 | + | * fundamental 표현, highest weight은 <math>\omega_1</math> |
* 4차원 표현 | * 4차원 표현 | ||
* 지표 | * 지표 | ||
− | + | :<math> | |
\chi_{\omega_1}=x_1+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_3}+\frac{x_3}{x_2} | \chi_{\omega_1}=x_1+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_3}+\frac{x_3}{x_2} | ||
− | + | </math> | |
+ | * weight diagram | ||
+ | [[파일:리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론2.png]] | ||
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===예2=== | ===예2=== | ||
− | * adjoint 표현, highest weight은 | + | * adjoint 표현, highest weight은 <math>\omega_1+\omega_3</math> |
* 15차원 표현 | * 15차원 표현 | ||
* 지표 | * 지표 | ||
− | + | :<math> | |
\chi_{\omega_1+\omega_3}=3+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_3^2}+\frac{1}{x_1 x_3}+\frac{x_1}{x_2 x_3}+\frac{x_1 x_2}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+x_1 x_3+\frac{x_1 x_3}{x_2^2}+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{x_2 x_3}{x_1}+\frac{x_3^2}{x_2} | \chi_{\omega_1+\omega_3}=3+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_3^2}+\frac{1}{x_1 x_3}+\frac{x_1}{x_2 x_3}+\frac{x_1 x_2}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+x_1 x_3+\frac{x_1 x_3}{x_2^2}+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{x_2 x_3}{x_1}+\frac{x_3^2}{x_2} | ||
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+ | * weight diagram | ||
+ | [[파일:리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론3.png]] | ||
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+ | ===예3=== | ||
+ | * highest weight <math>\omega_1+\omega_2+\omega_3</math> | ||
+ | * 64차원 표현 | ||
+ | * weight diagram | ||
+ | [[파일:리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론4.png]] | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== |
2020년 11월 13일 (금) 18:12 기준 최신판
개요
- 복소수체 위의 15차원 리대수 \(\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})\)
- \(\mathfrak{g}=\{X\in \mathfrak{gl}(4,\mathbb{C})|\operatorname{Tr}(X)=0 \}\)
- \(A_3\) 타입의 단순 리대수
리대수 \(\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})\)
- 기저
\[ \begin{array}{|rcl|} \hline h_1 & = & \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline h_2 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline h_3 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right) \\ \hline e_1 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_2 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_3 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_4 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_5 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline e_6 & = & \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \hline f_i & = & e_i^t,\quad 1\leq i\leq 6 \\ \hline \end{array} \]
- \(A_3\) 카르탄 행렬
\[A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \right)\]
- \(A_3\) 루트 시스템
\[\Phi=\left\{ \alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\\ -\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _3,-\alpha _1-\alpha _2,-\alpha _2-\alpha _3,-\alpha _1-\alpha _2-\alpha _3 \right \}\]
- 바일군
\[\{s[],s[1],s[2],s[3],s[1,2],s[1,3],s[2,1],s[2,3],s[3,2],\\ s[1,2,1],s[1,2,3],s[1,3,2],s[2,1,3],s[2,3,2],s[3,2,1],\\ s[1,2,1,3],s[1,2,3,2],s[1,3,2,1],s[2,1,3,2],s[2,3,2,1],s[1,2,1,3,2],s[1,2,3,2,1],s[2,1,3,2,1],s[1,2,1,3,2,1]\} \]
- \(A_3\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^4\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
- \(\alpha_1=(1,-1,0,0)\)
- \(\alpha_2=(0,1,-1,0)\)
- \(\alpha_3=(0,0,1,-1)\)
- fundamental weights
- \(\omega_1=(3/4, -(1/4), -(1/4), -(1/4))\)
- \(\omega_2=(1/2, 1/2, -(1/2), -(1/2))\)
- \(\omega_3=(1/4, 1/4, 1/4, -(3/4))\)
- 바일 벡터 \(\rho=(3/2, 1/2, -(1/2), -(3/2))\)
유한차원 기약 표현의 분류
- 유한차원 기약 표현 \(V\)에 대하여, 적당한 dominant weight \(\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3,\quad a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)가 존재하여, \(V\cong L(\omega)\)가 성립
- 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다
\[ \dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{12} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (a+b+c+3) \]
기약표현의 예
- 표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표를 다음과 같이 정의
\[ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \]
- \(x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}\)로 두면, \(\chi_{\lambda}\)는 \(\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]\)의 원소가 된다
- 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조
예1
- fundamental 표현, highest weight은 \(\omega_1\)
- 4차원 표현
- 지표
\[ \chi_{\omega_1}=x_1+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_3}+\frac{x_3}{x_2} \]
- weight diagram
예2
- adjoint 표현, highest weight은 \(\omega_1+\omega_3\)
- 15차원 표현
- 지표
\[ \chi_{\omega_1+\omega_3}=3+\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2}{x_1^2}+\frac{x_2}{x_3^2}+\frac{1}{x_1 x_3}+\frac{x_1}{x_2 x_3}+\frac{x_1 x_2}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+x_1 x_3+\frac{x_1 x_3}{x_2^2}+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{x_2 x_3}{x_1}+\frac{x_3^2}{x_2} \]
- weight diagram
예3
- highest weight \(\omega_1+\omega_2+\omega_3\)
- 64차원 표현
- weight diagram
관련된 항목들