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\Phi^{+}=\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _2+\alpha _3,2 \alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3\right\}
 
\Phi^{+}=\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _2+\alpha _3,2 \alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3\right\}
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* 바일군 : 크기 48인 유한반사군 [[콕세터 군 B3/C3]]
 
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* <math>C_3</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^3</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
 
* <math>C_3</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^3</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
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* 바일 벡터 <math>\rho=(3,2,1)</math>
 
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==유한차원 기약 표현의 분류==
 
==유한차원 기약 표현의 분류==
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* 유한차원 기약 표현 $V$에 대하여, 적당한 dominant weight $\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3, a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$가 존재하여, $V\cong L(\omega)$가 성립
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* 유한차원 기약 표현 <math>V</math>에 대하여, 적당한 dominant weight <math>\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3, a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>가 존재하여, <math>V\cong L(\omega)</math>가 성립
 
* [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다
 
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\dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{720} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (b+2 c+3) (a+b+c+3) (a+b+2 c+4) (a+2 b+2 c+5)
 
\dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{720} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (b+2 c+3) (a+b+c+3) (a+b+2 c+4) (a+2 b+2 c+5)
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==기약표현의 예==
 
==기약표현의 예==
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* 표현 $V=L(\lambda)$의 지표를 다음과 같이 정의
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* 표현 <math>V=L(\lambda)</math>의 지표를 다음과 같이 정의
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\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
 
\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
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* $x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}$로 두면, $\chi_{\lambda}$는 $\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]$의 원소가 된다
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* <math>x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2},x_3=e^{\omega_3}</math>로 두면, <math>\chi_{\lambda}</math>는 <math>\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm},x_3^{\pm}]</math>의 원소가 된다
 
* [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조
 
* [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조
 
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* 벡터 표현, highest weight은 $\omega_1$
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* 6차원 표현
 
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* 지표
 
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\chi_{\omega_1}=\frac{x_1}{x_2}+x_1+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}
 
\chi_{\omega_1}=\frac{x_1}{x_2}+x_1+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1}
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* weight diagram
 
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[[파일:리대수 sp(6,C)의 유한차원 표현론2.png]]
 
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* adjoint 표현, highest weight $2\omega_1$
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* 21차원 표현
 
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* 지표
 
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\chi_{2\omega_1}=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+x_1^2+\frac{x_3 x_1}{x_2}+\frac{x_3 x_1}{x_2^2}+\frac{x_2 x_1}{x_3}+\frac{x_1}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+\frac{x_3^2}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}+x_2+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+\frac{x_2}{x_1 x_3}+\frac{x_2^2}{x_3^2}+\frac{x_3}{x_1}+3
 
\chi_{2\omega_1}=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+x_1^2+\frac{x_3 x_1}{x_2}+\frac{x_3 x_1}{x_2^2}+\frac{x_2 x_1}{x_3}+\frac{x_1}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+\frac{x_3^2}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}+x_2+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+\frac{x_2}{x_1 x_3}+\frac{x_2^2}{x_3^2}+\frac{x_3}{x_1}+3
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* weight diagram
 
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[[파일:리대수 sp(6,C)의 유한차원 표현론3.png]]
 
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* [[리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론]]
 
* [[리대수 sl(4,C)의 유한차원 표현론]]
 
* [[리대수 so(6)의 유한차원 표현론]]
 
* [[리대수 so(6)의 유한차원 표현론]]
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* [[콕세터 군 B3/C3]]
  
  

2020년 11월 12일 (목) 01:32 기준 최신판

개요

  • 복소수체 위의 21차원 리대수
  • \(C_3\) 타입의 단순 리대수


리대수 \(\mathfrak{sp}(6,\mathbb{C})\)

  • \(C_3\) 카르탄 행렬

\[ \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ \end{array} \right) \]

  • \(C_3\) 루트 시스템 \(\Phi=\Phi^{+}\cup (-\Phi^{+})\)

\[ \Phi^{+}=\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2,2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _2+\alpha _3,2 \alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3,\alpha _1+2 \alpha _2+\alpha _3\right\} \]

  • 바일군 : 크기 48인 유한반사군 콕세터 군 B3/C3
  • \(C_3\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^3\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
    • \(\alpha_1=(1,-1,0)\)
    • \(\alpha_2=(0,1,-1)\)
    • \(\alpha_3=(0,0,2)\)
  • fundamental weights
    • \(\omega_1=(1,0,0)\)
    • \(\omega_2=(1,1,0)\)
    • \(\omega_3=(1,1,1)\)
  • 바일 벡터 \(\rho=(3,2,1)\)


유한차원 기약 표현의 분류

  • 유한차원 기약 표현 \(V\)에 대하여, 적당한 dominant weight \(\omega=a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3, a,b,c\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)가 존재하여, \(V\cong L(\omega)\)가 성립
  • 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다

\[ \dim L(a\omega_1+b\omega_2+c\omega_3)=\frac{1}{720} (a+1) (b+1) (c+1) (a+b+2) (b+c+2) (b+2 c+3) (a+b+c+3) (a+b+2 c+4) (a+2 b+2 c+5) \]

기약표현의 예

  • 표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표를 다음과 같이 정의

\[ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \]

예1

  • 벡터 표현, highest weight은 \(\omega_1\)
  • 6차원 표현
  • 지표

\[ \chi_{\omega_1}=\frac{x_1}{x_2}+x_1+\frac{x_3}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{1}{x_1} \]

  • weight diagram

리대수 sp(6,C)의 유한차원 표현론2.png


예2

  • adjoint 표현, highest weight \(2\omega_1\)
  • 21차원 표현
  • 지표

\[ \chi_{2\omega_1}=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+x_1^2+\frac{x_3 x_1}{x_2}+\frac{x_3 x_1}{x_2^2}+\frac{x_2 x_1}{x_3}+\frac{x_1}{x_3}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+\frac{x_3^2}{x_2^2}+\frac{x_2}{x_1^2}+x_2+\frac{x_3}{x_1 x_2}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1 x_3}+\frac{x_2}{x_1 x_3}+\frac{x_2^2}{x_3^2}+\frac{x_3}{x_1}+3 \]

  • weight diagram

리대수 sp(6,C)의 유한차원 표현론3.png

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

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