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==이차형식과 제타함수==
 
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* $\tau=x+iy\in \mathbb{C}$에 대하여, <math>|m\tau+n|^{2}=m^2 (x^2+y^2)+2 m n x+n^2</math>  
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*  양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)|정수계수이차형식]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>이고 <math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 Epstein 제타함수를 다음과 같이 정의
 
*  양의 정부호인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)|정수계수이차형식]] <math>Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2</math> (즉<math>a>0</math>이고 <math>\Delta=b^2-4ac<0</math>) 에 대하여 Epstein 제타함수를 다음과 같이 정의
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:<math>\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cy^2)^s}</math>
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* <math>\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}</math> 인 경우 ( <math>-\Delta=|\Delta|</math> )
 
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:<math>\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)</math>
 
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\zeta_Q(s) & = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right)+O(s-1) \\
 
\zeta_Q(s) & = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right)+O(s-1) \\
 
{}&=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|})\right)- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1)
 
{}&=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|})\right)- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1)
 
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* [[크로네커 극한 공식]] 참조
 
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판별식이 같은 즉 <math>m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2</math> 인 두 양의정부호 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와  <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> 에 대하여, 다음이 성립한다.
 
판별식이 같은 즉 <math>m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2</math> 인 두 양의정부호 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와  <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> 에 대하여, 다음이 성립한다.
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\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) & = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\right)\\
 
\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) & = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\right)\\
 
{} & =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\}
 
{} & =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\}
 
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여기서 <math>\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}</math>, <math>\omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}</math>
 
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==라마누잔 class invariants 와의 관계==
 
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==관련논문==
 
==관련논문==
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* Baier, Stephan, Srinivas Kotyada, and Usha Keshav Sangale. “A Note on the Gaps between Zeros of Epstein’s Zeta-Functions on the Critical Line.” arXiv:1602.06069 [math], February 19, 2016. http://arxiv.org/abs/1602.06069.
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* Andersson, Johan, and Anders Södergren. “On the Universality of the Epstein Zeta Function.” arXiv:1508.05836 [math], August 24, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.05836.
 
* [http://projecteuclid.org/euclid.tjm/1270472992 A Proof of the Classical Kronecker Limit Formula]
 
* [http://projecteuclid.org/euclid.tjm/1270472992 A Proof of the Classical Kronecker Limit Formula]
 
**  Takuro SHINTANI. Source: Tokyo J. of Math. Volume 03, Number 2 (1980), 191-199
 
**  Takuro SHINTANI. Source: Tokyo J. of Math. Volume 03, Number 2 (1980), 191-199
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* [http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/9/8/007 A systematic approach to the evaluation of $\sum_{m,n>0}(am^2+bmn+cn^2)^{-s}$]
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* [http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/9/8/007 A systematic approach to the evaluation of <math>\sum_{m,n>0}(am^2+bmn+cn^2)^{-s}</math>]
 
**  I J Zucker et al 1976 J. Phys. A: Math. Gen. 9 1215-1225
 
**  I J Zucker et al 1976 J. Phys. A: Math. Gen. 9 1215-1225
 
* [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function]
 
* [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0227&DMDID=dmdlog8 On Epstein's Zeta-function]
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* [http://www.jstor.org/stable/1968602 On Epstein's Zeta Function]
 
* [http://www.jstor.org/stable/1968602 On Epstein's Zeta Function]
 
** Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
 
** Max F. Deuring, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 38, No. 3 (Jul., 1937), pp. 585-593
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7301121 Q7301121]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'real'}, {'LOWER': 'analytic'}, {'LOWER': 'eisenstein'}, {'LEMMA': 'series'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:47 기준 최신판

개요


이차형식과 제타함수

  • \(\tau=x+iy\in \mathbb{C}\)에 대하여, \(|m\tau+n|^{2}=m^2 (x^2+y^2)+2 m n x+n^2\)
  • 양의 정부호인 정수계수이차형식 \(Q(X,Y)=aX^2+bXY+cY^2\) (즉\(a>0\)이고 \(\Delta=b^2-4ac<0\)) 에 대하여 Epstein 제타함수를 다음과 같이 정의

\[\zeta_Q(s) =\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\frac{1}{(aX^2+bXY+cY^2)^s}\]

\[E(\tau,s)=(\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2})^s \zeta_Q(s)\] \[\zeta_Q(s) = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})^s E(\tau,s)\]

정리

\(\zeta_Q(s)\)의 \(s=1\)에서의 로랑전개는 다음과 같다 \[ \begin{aligned} \zeta_Q(s) & = (\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right)+O(s-1) \\ {}&=(\frac{2}{\sqrt{|\Delta|}})\left({\pi\over s-1} + 2\pi\gamma-2\pi\log(2)-2\pi\log(\sqrt{|\Delta|})\right)- \frac{2\cdot 2\pi}{\sqrt{|\Delta|}}\log \frac{|\eta(\tau)|^2}{\sqrt{2a}}+O(s-1) \end{aligned} \] 여기서 \[\tau= {-b\over 2a} + i {\sqrt{|\Delta|}\over 2a},y = {\sqrt{|\Delta|}\over 2a}\]

따름정리

판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 양의정부호 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와 \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여, 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} \lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) & = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\right)\\ {} & =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\} \end{aligned} \] 여기서 \(\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}\), \(\omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}\)

라마누잔 class invariants 와의 관계

  • 두 이차형식 \(Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2\)와 \(Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2\), \(m=2ac\)에 대하여 위의 따름정리를 적용하면,

\[\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\left(\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\right)=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}\] 여기서 \(\tau=i\sqrt\frac{2c}{a}\), \(\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}\) \[g_n:=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}\]


관련된 항목들


수학용어번역


사전 형태의 자료


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'real'}, {'LOWER': 'analytic'}, {'LOWER': 'eisenstein'}, {'LEMMA': 'series'}]
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