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** [[자연수의 약수의 합]] 항목 참조 | ** [[자연수의 약수의 합]] 항목 참조 | ||
| − | * | + | * <math>M_p = 2^p - 1</math> 가 소수 ([[메르센 소수]])이면 <math>M_p(M_p+1)/2</math>는 완전수이다 |
* 모든 짝수인 완전수는 위의 형태로 주어진다 | * 모든 짝수인 완전수는 위의 형태로 주어진다 | ||
* 홀수인 완전수의 존재여부는 미해결 문제이다 | * 홀수인 완전수의 존재여부는 미해결 문제이다 | ||
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2020년 11월 12일 (목) 06:56 기준 최신판
개요
- \(\sigma(n)=2n\)을 만족하는 자연수 \(n\)을 완전수라 한다. 여기서 \(\sigma(n)\)은 \(n\)의 약수의 합
- 자연수의 약수의 합 항목 참조
- \(M_p = 2^p - 1\) 가 소수 (메르센 소수)이면 \(M_p(M_p+1)/2\)는 완전수이다
- 모든 짝수인 완전수는 위의 형태로 주어진다
- 홀수인 완전수의 존재여부는 미해결 문제이다
예
- \(M_p\)은 메르센 소수이고 \(M_p(M_p+1)/2\)는 대응되는 완전수
\[ \begin{array}{ccc} p & M_p & M_p(M_p+1)/2 \\ \hline 2 & 3 & 6 \\ 3 & 7 & 28 \\ 5 & 31 & 496 \\ 7 & 127 & 8128 \\ 13 & 8191 & 33550336 \\ 17 & 131071 & 8589869056 \\ 19 & 524287 & 137438691328 \\ 31 & 2147483647 & 2305843008139952128 \\ 61 & 2305843009213693951 & 2658455991569831744654692615953842176 \\ \end{array} \]
메모
- http://mathoverflow.net/questions/99227/sum-of-the-reciprocal-of-perfect-numbers
- http://www.johndcook.com/blog/2010/11/06/even-perfect-numbers/
- http://www.huffingtonpost.com/mario-livio/perfect-numbers_b_2998917.html
관련된 항목들