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| + | * 플랑크는 양자 가설을 이용하여 이 법칙을 유도 | ||
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| + | :<math>R(T)=\frac{2\pi h}{c^2}\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu=\frac{2 \pi ^5 k^4}{15 c^2 h^3} T^4</math> | ||
| + | * 상수를 제외하면 다음과 같은 적분 | ||
| + | :<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}</math> | ||
| + | * 더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음. | ||
| + | :<math>\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)</math>:<math>\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}</math> | ||
| + | * [[푸리에 변환]] 항목의 멜린변환 참조 | ||
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| − | + | * [[자코비 세타함수]] 를 이용하여 [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]]를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성:<math>\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}</math> | |
| + | * 슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우:<math>\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)</math> | ||
| + | * <math>\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}</math> 로 두면, :<math> \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}</math>:<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix </math> | ||
| + | :<math>\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)</math> | ||
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| − | + | ==관련된 항목들== | |
| + | * [[감마함수]] | ||
| + | * [[로그 사인 적분 (log sine integrals)]] | ||
| + | * [[베르누이 수|베르누이 수와 베르누이 다항식]] | ||
| + | * [[자코비 세타함수]] | ||
| + | * [[코탄젠트]] | ||
| + | * [[푸리에 변환]] | ||
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| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeWtnRTdIMzBaUTg/edit | ||
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| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
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| − | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/슈테판-볼츠만_법칙 | |
| + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Stefan-Boltzmann_law | ||
| + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann | ||
| + | * http://en.wikipedia.org/wiki/Bose-Einstein_distribution | ||
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| − | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | |
| + | * Cardy, John. “The Ubiquitous ‘c’: From the Stefan-Boltzmann Law to Quantum Information.” Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2010, no. 10 (October 7, 2010): P10004. doi:10.1088/1742-5468/2010/10/P10004. | ||
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| − | + | ==관련논문== | |
| + | * Moreira Jr., E. S., and T. G. Ribeiro. “Stefan-Boltzmann Law for Massive Photons.” arXiv:1512.05927 [hep-Th, Physics:quant-Ph], December 18, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.05927. | ||
| + | * Robinson, John E. “Note on the Bose-Einstein Integral Functions.” Physical Review 83, no. 3 (August 1, 1951): 678–79. doi:10.1103/PhysRev.83.678. | ||
| − | + | [[분류:수리물리학]] | |
| + | [[분류:상수]] | ||
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * [ | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q704747 Q704747] |
| − | * [ | + | ===Spacy 패턴 목록=== |
| − | * [ | + | * [{'LOWER': 'stefan'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'boltzmann'}, {'LEMMA': 'law'}] |
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| + | * [{'LOWER': 'stefan'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'boltzmann'}, {'LEMMA': 'law'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 03:55 기준 최신판
개요
- 흑체의 온도 \(T\)와 단위 면적당 복사 에너지 \(R(T)\)의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙
\[R(T)=\sigma T^4\] 여기서 \(\sigma\)는 슈테판-볼츠만 상수
- 플랑크는 양자 가설을 이용하여 이 법칙을 유도
- 이 유도과정에는 \(\zeta(4)\)가 등장하며, 슈테판-볼츠만 상수는 다음과 같이 주어짐
\[ \sigma=\frac{2\pi^5 k^4}{15c^2h^3}= 5.670373 \times 10^{-8}\, \mathrm{W\, m^{-2}K^{-4}}, \] 여기서 k는 볼츠만 상수, h는 플랑크 상수, c는 빛의 속도
슈테판-볼츠만의 법칙
- 플랑크 함수의 적분으로부터 슈테판-볼츠만 법칙을 얻는다
\[R(T)=\frac{2\pi h}{c^2}\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu=\frac{2 \pi ^5 k^4}{15 c^2 h^3} T^4\]
- 상수를 제외하면 다음과 같은 적분
\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}\]
- 더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.
\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)\]\[\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}\]
- 푸리에 변환 항목의 멜린변환 참조
메모
- 자코비 세타함수 를 이용하여 리만제타함수와 리만가설를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]
- 슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)\]
- \(\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}\) 로 두면, \[ \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}\]\[\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \]
\[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)\] \[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=2^{-s}\Gamma(s)\zeta(s)\]
역사
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/슈테판-볼츠만_법칙
- http://en.wikipedia.org/wiki/Stefan-Boltzmann_law
- http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bose-Einstein_distribution
리뷰, 에세이, 강의노트
- Cardy, John. “The Ubiquitous ‘c’: From the Stefan-Boltzmann Law to Quantum Information.” Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2010, no. 10 (October 7, 2010): P10004. doi:10.1088/1742-5468/2010/10/P10004.
관련논문
- Moreira Jr., E. S., and T. G. Ribeiro. “Stefan-Boltzmann Law for Massive Photons.” arXiv:1512.05927 [hep-Th, Physics:quant-Ph], December 18, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.05927.
- Robinson, John E. “Note on the Bose-Einstein Integral Functions.” Physical Review 83, no. 3 (August 1, 1951): 678–79. doi:10.1103/PhysRev.83.678.
메타데이터
위키데이터
- ID : Q704747
Spacy 패턴 목록
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