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\sum_{j=-\infty}^{\infty}' \frac{(-1)^{j+1}}{j}=2\log 2=1.38629\cdots | \sum_{j=-\infty}^{\infty}' \frac{(-1)^{j+1}}{j}=2\log 2=1.38629\cdots | ||
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* 양이온과 음이온이 2차원 정사각격자에 교대로 놓여 있는 경우 | * 양이온과 음이온이 2차원 정사각격자에 교대로 놓여 있는 경우 | ||
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\sum _{i=-\infty }^{\infty } \underset{j=-\infty }{\overset{\infty }{\sum '}}\frac{(-1)^{i+j}}{\sqrt{i^2+j^2}}=1.61554\cdots | \sum _{i=-\infty }^{\infty } \underset{j=-\infty }{\overset{\infty }{\sum '}}\frac{(-1)^{i+j}}{\sqrt{i^2+j^2}}=1.61554\cdots | ||
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===3차원=== | ===3차원=== | ||
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\sum _{i=-\infty }^{\infty } \sum _{j=-\infty }^{\infty } \sum _{k=-\infty }^{\infty } '\frac{(-1)^{i+j+k+1}}{\sqrt{i^2+j^2+k^2}}=1.74756\cdots | \sum _{i=-\infty }^{\infty } \sum _{j=-\infty }^{\infty } \sum _{k=-\infty }^{\infty } '\frac{(-1)^{i+j+k+1}}{\sqrt{i^2+j^2+k^2}}=1.74756\cdots | ||
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==리뷰, 에세이, 강의노트== | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | ||
| + | * 吉元昌己. “Madelung constants and Epstein zeta functions (New Aspects of Analytic Number Theory),” July 2002. http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/42269. | ||
* http://physica.gsnu.ac.kr/phtml/modern/solidstate/crystalphysics/crystalphysics2.html | * http://physica.gsnu.ac.kr/phtml/modern/solidstate/crystalphysics/crystalphysics2.html | ||
* https://www.quora.com/What-is-the-significance-of-the-Madelung-constant | * https://www.quora.com/What-is-the-significance-of-the-Madelung-constant | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
* Mamode, Malik. “Computation of the Madelung Constant for Hypercubic Crystal Structures in Any Dimension.” arXiv:1511.05981 [math-Ph, Physics:physics], November 18, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.05981. | * Mamode, Malik. “Computation of the Madelung Constant for Hypercubic Crystal Structures in Any Dimension.” arXiv:1511.05981 [math-Ph, Physics:physics], November 18, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.05981. | ||
| + | * Crandall, Richard E. “New Representations for the Madelung Constant.” Experimental Mathematics 8, no. 4 (1999): 367–79. | ||
| + | * Crandall, Richard E. "Fast evaluation of Epstein zeta functions." (1998): 1-11. http://www.reed.edu/physics/faculty/crandall/papers/epstein.pdf | ||
* Borwein, David, Jonathan M. Borwein, and Keith F. Taylor. “Convergence of Lattice Sums and Madelung’s Constant.” Journal of Mathematical Physics 26, no. 11 (November 1, 1985): 2999–3009. doi:10.1063/1.526675. | * Borwein, David, Jonathan M. Borwein, and Keith F. Taylor. “Convergence of Lattice Sums and Madelung’s Constant.” Journal of Mathematical Physics 26, no. 11 (November 1, 1985): 2999–3009. doi:10.1063/1.526675. | ||
| + | * Waddington, T. C. “The Calculation of the Madelung Constant of a ‘generalized’ Sodium Chloride Lattice.” Transactions of the Faraday Society 56, no. 0 (January 1, 1960): 305–9. doi:10.1039/TF9605600305. | ||
| + | * Benson, G. C. “A SIMPLE FORMULA FOR EVALUATING THE MADELUNG CONSTANT OF A NaCl-TYPE CRYSTAL.” Canadian Journal of Physics 34, no. 8 (August 1, 1956): 888–90. doi:10.1139/p56-095. | ||
2020년 11월 16일 (월) 05:23 기준 최신판
개요
- 이온 결정에서 하나의 이온이 갖는 정전기 포텐셜에 대한 상수
- 격자 위의 합
- 엡슈타인 제타함수의 특수값
정사각 격자
1차원
- 양이온과 음이온이 직선상에 교대로 놓여 있는 경우
\[ \sum_{j=-\infty}^{\infty}' \frac{(-1)^{j+1}}{j}=2\log 2=1.38629\cdots \]
2차원
- 양이온과 음이온이 2차원 정사각격자에 교대로 놓여 있는 경우
\[ \sum _{i=-\infty }^{\infty } \underset{j=-\infty }{\overset{\infty }{\sum '}}\frac{(-1)^{i+j}}{\sqrt{i^2+j^2}}=1.61554\cdots \]
3차원
\[ \sum _{i=-\infty }^{\infty } \sum _{j=-\infty }^{\infty } \sum _{k=-\infty }^{\infty } '\frac{(-1)^{i+j+k+1}}{\sqrt{i^2+j^2+k^2}}=1.74756\cdots \]
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://drive.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUjQyN0pJRmtBQkE/view
- http://mathworld.wolfram.com/MadelungConstants.html
리뷰, 에세이, 강의노트
- 吉元昌己. “Madelung constants and Epstein zeta functions (New Aspects of Analytic Number Theory),” July 2002. http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/42269.
- http://physica.gsnu.ac.kr/phtml/modern/solidstate/crystalphysics/crystalphysics2.html
- https://www.quora.com/What-is-the-significance-of-the-Madelung-constant
관련논문
- Mamode, Malik. “Computation of the Madelung Constant for Hypercubic Crystal Structures in Any Dimension.” arXiv:1511.05981 [math-Ph, Physics:physics], November 18, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.05981.
- Crandall, Richard E. “New Representations for the Madelung Constant.” Experimental Mathematics 8, no. 4 (1999): 367–79.
- Crandall, Richard E. "Fast evaluation of Epstein zeta functions." (1998): 1-11. http://www.reed.edu/physics/faculty/crandall/papers/epstein.pdf
- Borwein, David, Jonathan M. Borwein, and Keith F. Taylor. “Convergence of Lattice Sums and Madelung’s Constant.” Journal of Mathematical Physics 26, no. 11 (November 1, 1985): 2999–3009. doi:10.1063/1.526675.
- Waddington, T. C. “The Calculation of the Madelung Constant of a ‘generalized’ Sodium Chloride Lattice.” Transactions of the Faraday Society 56, no. 0 (January 1, 1960): 305–9. doi:10.1039/TF9605600305.
- Benson, G. C. “A SIMPLE FORMULA FOR EVALUATING THE MADELUNG CONSTANT OF A NaCl-TYPE CRYSTAL.” Canadian Journal of Physics 34, no. 8 (August 1, 1956): 888–90. doi:10.1139/p56-095.