마델룽 상수

수학노트
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개요

  • 이온 결정에서 하나의 이온이 갖는 정전기 포텐셜에 대한 상수
  • 격자 위의 합
  • 엡슈타인 제타함수의 특수값


정사각 격자

1차원

  • 양이온과 음이온이 직선상에 교대로 놓여 있는 경우

\[ \sum_{j=-\infty}^{\infty}' \frac{(-1)^{j+1}}{j}=2\log 2=1.38629\cdots \]


2차원

  • 양이온과 음이온이 2차원 정사각격자에 교대로 놓여 있는 경우

\[ \sum _{i=-\infty }^{\infty } \underset{j=-\infty }{\overset{\infty }{\sum '}}\frac{(-1)^{i+j}}{\sqrt{i^2+j^2}}=1.61554\cdots \]


3차원

\[ \sum _{i=-\infty }^{\infty } \sum _{j=-\infty }^{\infty } \sum _{k=-\infty }^{\infty } '\frac{(-1)^{i+j+k+1}}{\sqrt{i^2+j^2+k^2}}=1.74756\cdots \]


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관련논문

  • Mamode, Malik. “Computation of the Madelung Constant for Hypercubic Crystal Structures in Any Dimension.” arXiv:1511.05981 [math-Ph, Physics:physics], November 18, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.05981.
  • Crandall, Richard E. “New Representations for the Madelung Constant.” Experimental Mathematics 8, no. 4 (1999): 367–79.
  • Crandall, Richard E. "Fast evaluation of Epstein zeta functions." (1998): 1-11. http://www.reed.edu/physics/faculty/crandall/papers/epstein.pdf
  • Borwein, David, Jonathan M. Borwein, and Keith F. Taylor. “Convergence of Lattice Sums and Madelung’s Constant.” Journal of Mathematical Physics 26, no. 11 (November 1, 1985): 2999–3009. doi:10.1063/1.526675.
  • Waddington, T. C. “The Calculation of the Madelung Constant of a ‘generalized’ Sodium Chloride Lattice.” Transactions of the Faraday Society 56, no. 0 (January 1, 1960): 305–9. doi:10.1039/TF9605600305.
  • Benson, G. C. “A SIMPLE FORMULA FOR EVALUATING THE MADELUNG CONSTANT OF A NaCl-TYPE CRYSTAL.” Canadian Journal of Physics 34, no. 8 (August 1, 1956): 888–90. doi:10.1139/p56-095.
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