"고전역학에서의 적분가능 모형"의 두 판 사이의 차이

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<h5>적분가능 모형</h5>
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==적분가능 모형==
  
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*  고전/양자 역학에서의 적분가능 모형은 교환법칙을 만족시키는 적분들 또는 보존량의 존재를 특징으로 함<br>
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*  고전/양자 역학에서의 적분가능 모형은 교환법칙을 만족시키는 적분들 또는 보존량의 존재를 특징으로 함
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*  자유도가 N으로 주어진 계<br>
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*  자유도가 N으로 주어진 계
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*  해밀토니안 <math>H(q,p)</math><br>
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*  해밀토니안 <math>H(q,p)</math>
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*  위치 변수 <math>q=(q_1,\cdots,q_N)</math><br>
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*  위치 변수 <math>q=(q_ 1,\cdots,q_N)</math>
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*  운동량 변수 <math>p=(p_1,\cdots,p_N)</math><br>
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*  운동량 변수 <math>p=(p_ 1,\cdots,p_N)</math>
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*  운동방정식<br><math>\dot{q}_i=\partial H/\partial p_i</math><br><math>\dot{p}_i=-\partial H/\partial q_i</math><br>
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*  운동방정식
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* N개의 독립인 보존량(또는 제1적분) <math>L_1(x),\cdots,L_N(x)</math>이 필요하다
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:<math>
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* 포아송 괄호<br><math>f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)</math><br><math>\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[  \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]</math><br>
+
\left\{
−
*  L과 H의 포아송 괄호 <math>\{L_i,H\}</math><br>
+
\begin{array}{c}
−
*  보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다<br><math>\{L_i,H\}=0</math><br><math>\{L_i,L_j\}=0</math><br>
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\begin{aligned}
−
*  action-angle 변수<br>
+
\dot{q}_i&=\frac{\partial H}{\partial p_i} \\
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**  새로운 변수action 변수 <math>I</math>, angle 변수 <math>{\theta}</math> 를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 <math>H(I,\theta)</math><br>
+
\dot{p}_i&=-\frac{\partial H}{\partial q_i}
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**  다음 조건을 만족시켜야 한다<br><math>\dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega</math>, <math>\partial H/\partial \theta=0</math><br>
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\end{aligned}
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\end{array} \right.
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</math>
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===보존량과 포아송 괄호===
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* 적분가능계가 되기 위해서는 <math>N</math>개의 독립인 보존량(또는 제1적분) <math>L_ 1(x),\cdots,L_N(x)</math>이 필요하다
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* 두 함수 <math>f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)</math>에 대한 포아송 괄호를 다음과 같이 정의
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:<math>\{f,g\} : = \sum_{i=1}^{N} \left[  \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]</math>
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*  <math>L</math>과 <math>H</math>의 포아송 괄호  
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:<math>
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\begin{aligned}
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\{L,H\}&=\sum_{i=1}^N \left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial L}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right]\\
 +
&=\sum_{i=1}^N \left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial p_{i}} \dot{p}_i \right] \\
 +
&=\frac{d L}{d t}
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\end{aligned}
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</math>
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*  보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다
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:<math>
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\begin{array}{c}
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\{L_i,H\}=0 \\
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\{L_i,L_j\}=0
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\end{array}
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</math>
  
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===작용-각(action-angle) 변수===
 +
* 작용 변수 <math>I(p,q)</math>, 각 변수 <math>\theta(p,q)</math>를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 <math>H(I,\theta)</math>
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* 다음 조건을 만족시켜야 한다
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:<math>
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\left\{
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\begin{array}{c}
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\begin{aligned}
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\dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega \\
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\partial H/\partial \theta=0
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\end{aligned}
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\end{array} \right.
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</math>
  
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==자유낙하하는 물체==
  
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+
*  해밀토니안:<math>H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+mgq</math> g는 중력가속도. m은 입자의 질량
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*  해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-mg</math>
 +
*  운동방정식:<math>\ddot{q}=-g</math>
 +
*  보존량<math>E=L_ 1(q,p)=H(q,p)</math>은 에너지
 +
:<math>\dot{E}=\frac{p\dot{p}}{m}+mg\dot{q}=\frac{p(-mg)}{m}+mg\frac{p}{m}=0</math>
  
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">자유낙하하는 물체</h5>
 
  
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* 해밀토니안<br><math>H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+mgq</math><br> g는 중력가속도. m은 입자의 질량<br>
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==단순조화진동자(simple harmonic oscillator)==
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* 해밀턴 방정식<br><math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math><br><math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-mg</math><br>
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* [[고전 단순 조화 진동자]] 항목 참조
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* 운동방정식<br><math>\ddot{q}=-g</math><br>
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* 질량 m, 각속도 <math>\omega</math> 인 조화진동자
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* 보존량<br><math>L_1(q,p)=H(q,p)</math><br> 에너지<br>
+
* 해밀토니안:<math>H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2</math>
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* 해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q</math>
 +
* 운동방정식:<math>\ddot{q}=-\omega^{2} q</math> 즉 <math>\ddot{q}+\omega^{2} q=0</math>
 +
* 보존량 <math>L_ 1(q,p)=H(q,p)</math>
 +
* 작용-각 변수 <math>I</math>, <math>H=\omega I</math> 따라서 <math>\partial H/\partial I=\omega</math> angle 변수 <math>{\theta}</math>,  <math>\dot{\theta}=\omega</math> 따라서 <math>\theta = \omega t+\theta_0</math>
  
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==단진자==
  
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*  해밀토니안:<math>H(p_{\theta},\theta)=\frac{p_ {\theta}^2}{2ml^2}-mgl\cos\theta</math>
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*  해밀턴 방정식:<math>\dot{\theta}=\partial H/\partial p_{\theta}=\frac{p_{\theta}}{ml^2}</math>:<math>\dot{p_{\theta}}=-\partial H/\partial \theta=mgl\sin\theta</math>
 +
*  운동방정식:<math>\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin\theta=0</math>
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*  보존량:<math>\frac{H(p_{\theta},\theta)}{ml^2}</math>
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*  action-angle 변수 http://www.maths.uq.edu.au/courses/MATH4104/m4104sec4.pdf
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* http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285896.pdf
  
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">단순조화진동자(simple harmonic oscillator)</h5>
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==the an-harmonic oscillator in 2 dim==
  
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%9E%90<br>
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* 질량 m, 각속도 <math>\omega</math> 인 조화진동자<br>
 
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*  해밀토니안<br><math>H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2</math><br>
 
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*  해밀턴 방정식<br><math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math><br><math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q</math><br>
 
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*  운동방정식<br><math>\ddot{q}=-\omega^{2} q</math> 즉 <math>\ddot{q}+\omega^{2} q=0</math><br>
 
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* 보존량 <math>L_1(q,p)=H(q,p)</math>
 
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*  action-angle 변수 http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables<br> action 변수 <math>I</math>, <math>H=\omega I</math> 따라서 <math>\partial H/\partial I=\omega</math><br> angle 변수 <math>{\theta}</math>,  <math>\dot{\theta}=\omega</math> 따라서 <math>\theta = \omega t+\theta_0</math><br>
 
  
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==이체 문제 (two-body problem)==
  
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">단진자</h5>
 
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*  해밀토니안<br><math>H(p_{\theta},\theta)=\frac{p_{\theta}^2}{2ml^2}-mgl\cos\theta</math><br>
 
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*  해밀턴 방정식<br><math>\dot{\theta}=\partial H/\partial p_{\theta}=\frac{p_{\theta}}{ml^2}</math><br><math>\dot{p_{\theta}}=-\partial H/\partial \theta=mgl\sin\theta</math><br>
 
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*  운동방정식<br><math>\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin\theta=0</math><br>
 
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*  보존량<br><math>\frac{H(p_{\theta},\theta)}{ml^2}</math><br>
 
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*  action-angle 변수 http://www.maths.uq.edu.au/courses/MATH4104/m4104sec4.pdf<br>
 
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* http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285896.pdf<br>
 
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">the an-harmonic oscillator in 2 dim</h5>
 
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">이체 문제 (two-body problem)</h5>
 
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">the geodesic motion on an ellipsoid</h5>
 
  
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==geodesic motion on an ellipsoid==
 
* [[곡면 위의 측지선]]
 
* [[곡면 위의 측지선]]
  
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==헤논-헤일스 방정식 (Hénon-Heiles Equation)==
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* [[헤논-헤일스 방정식(Hénon-Heiles Equation)]]
  
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">헤논-헤일스 방정식(Hénon-Heiles Equation)[http://statphys.springnote.com/pages/7410345 ]</h5>
 
  
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* [[헤논-헤일스 방정식(Hénon-Heiles Equation)]]<br>
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==링크==
  
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange,_Euler_and_Kovalevskaya_tops
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* Mircea PUTA and Constantin VOICU, Old and New Aspects in the Lagrange Top Dynamics  http://www.esi.ac.at/preprints/esi1363.ps
 +
* A. Lesfari, "Completely integrable systems: Jacobi's heritage," Journal of Geometry and Physics 31, no. 4 (October 1999): 265-286. http://dx.doi.org/10.1016/S0393-0440(99)00015-7
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* Taimanov, I. A. “On an Integrable Magnetic Geodesic Flow on the Two-Torus.” arXiv:1508.03745 [math], August 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.03745.
  
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==메모==
  
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">링크</h5>
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*  이체 문제 ([[케플러 문제]], 쿨롱 문제)
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*  [[단진자의 주기와 타원적분|단진자]]
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*  the double pendulum
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*  the free rigid body
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*  the rigid body with a fixed point(= tops - Euler top, Lagrange top,Kovaleskaya top)
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** [[Kovalevskaya Top]]
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*  [[고전 단순 조화 진동자]]
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*  the an-harmonic oscillator in 2 dim
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*  the motion of a particle in a central potential
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*  the motion on a sphere with a harmonic potential
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*  the geodesic motion on an ellipsoid (Jacobi's geodesic flow on an ellipsoid)
 +
*  the geodesic motion on a surface of revolution
 +
*  the geodesic motion on a torus
 +
*  the geodesic motion on a quartic
 +
*  the geodesic motion on SO(3)
 +
*  the Moser system
 +
*  the Calogero-Sutherland systems
 +
*  the Calogero-Moser systems
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*  the Toda lattices (periodic, non-periodic, non-abelian)
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*  the Clebsh rigid body in an ideal fluid,
 +
*  the n-dimensional rigid body
 +
*  the Garnier system
 +
*  the Gaudin systems
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*  KdV equation
  
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange,_Euler_and_Kovalevskaya_tops
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* Mircea PUTA and Constantin VOICU, Old and New Aspects in the Lagrange Top Dynamics  http://www.esi.ac.at/preprints/esi1363.ps
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxb3gwRzl0RVdnUHc/edit
−
* A. Lesfari, “Completely integrable systems: Jacobi's heritage,” Journal of Geometry and Physics 31, no. 4 (October 1999): 265-286.  [http://dx.doi.org/10.1016/S0393-0440%2899%2900015-7 http://dx.doi.org/10.1016/S0393-0440(99)00015-7]
+
* http://mathematica.stackexchange.com/questions/41850/how-to-define-the-poisson-bracket-in-mathematica
  
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==관련논문==
 +
* Magri, Franco, and Taras Skrypnyk. “The Clebsch System.” arXiv:1512.04872 [nlin], December 15, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.04872.
  
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">메모</h5>
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[[분류:적분가능모형]]
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[[분류:수리물리학]]
  
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*  The 2 body problem (Kepler problem, Coulomb problem)<br>
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==메타데이터==
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*  the simple pendulum<br>
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===위키데이터===
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*  the double pendulum<br>
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* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q6472659 Q6472659]
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*  the free rigid body<br>
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===Spacy 패턴 목록===
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*  the rigid body with a fixed point(= tops - Euler top, Lagrange top,Kovaleskaya top)<br>
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* [{'LOWER': 'lagrange'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'euler'}, {'LOWER': 'and'}, {'LOWER': 'kovalevskaya'}, {'LEMMA': 'top'}]
−
** [[Kovalevskaya Top]]<br>
 
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* the harmonic oscillator<br>
 
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*  the an-harmonic oscillator in 2 dim<br>
 
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*  the motion of a particle in a central potential<br>
 
−
*  the motion on a sphere with a harmonic potential<br>
 
−
*  the geodesic motion on an ellipsoid (Jacobi’s geodesic flow on an ellipsoid)<br>
 
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*  the geodesic motion on a surface of revolution<br>
 
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*  the geodesic motion on a torus<br>
 
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*  the geodesic motion on a quartic<br>
 
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*  the geodesic motion on SO(3)<br>
 
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*  the Moser system<br>
 
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*  the Calogero systems<br>
 
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*  the Calogero-Moser systems<br>
 
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*  the Toda lattices (periodic, non-periodic, non-abelian)<br>
 
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*  the Clebsh rigid body in an ideal fluid,<br>
 
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*  the n-dimensional rigid body<br>
 
−
*  the Garnier system<br>
 
−
*  the Gaudin systems<br>
 
−
*  KdV equation<br>
 

2021년 2월 17일 (수) 03:58 기준 최신판

적분가능 모형

  • 고전/양자 역학에서의 적분가능 모형은 교환법칙을 만족시키는 적분들 또는 보존량의 존재를 특징으로 함
  • 자유도가 N으로 주어진 계
  • 해밀토니안 \(H(q,p)\)
  • 위치 변수 \(q=(q_ 1,\cdots,q_N)\)
  • 운동량 변수 \(p=(p_ 1,\cdots,p_N)\)
  • 운동방정식

\[ \left\{ \begin{array}{c} \begin{aligned} \dot{q}_i&=\frac{\partial H}{\partial p_i} \\ \dot{p}_i&=-\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{aligned} \end{array} \right. \]

보존량과 포아송 괄호

  • 적분가능계가 되기 위해서는 \(N\)개의 독립인 보존량(또는 제1적분) \(L_ 1(x),\cdots,L_N(x)\)이 필요하다
  • 두 함수 \(f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)\)에 대한 포아송 괄호를 다음과 같이 정의

\[\{f,g\} : = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]\]

  • \(L\)과 \(H\)의 포아송 괄호

\[ \begin{aligned} \{L,H\}&=\sum_{i=1}^N \left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial L}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right]\\ &=\sum_{i=1}^N \left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial p_{i}} \dot{p}_i \right] \\ &=\frac{d L}{d t} \end{aligned} \]

  • 보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다

\[ \begin{array}{c} \{L_i,H\}=0 \\ \{L_i,L_j\}=0 \end{array} \]

작용-각(action-angle) 변수

  • 작용 변수 \(I(p,q)\), 각 변수 \(\theta(p,q)\)를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 \(H(I,\theta)\)
  • 다음 조건을 만족시켜야 한다

\[ \left\{ \begin{array}{c} \begin{aligned} \dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega \\ \partial H/\partial \theta=0 \end{aligned} \end{array} \right. \]

자유낙하하는 물체

  • 해밀토니안\[H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+mgq\] g는 중력가속도. m은 입자의 질량
  • 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-mg\]
  • 운동방정식\[\ddot{q}=-g\]
  • 보존량\(E=L_ 1(q,p)=H(q,p)\)은 에너지

\[\dot{E}=\frac{p\dot{p}}{m}+mg\dot{q}=\frac{p(-mg)}{m}+mg\frac{p}{m}=0\]


단순조화진동자(simple harmonic oscillator)

  • 고전 단순 조화 진동자 항목 참조
  • 질량 m, 각속도 \(\omega\) 인 조화진동자
  • 해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2\]
  • 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
  • 운동방정식\[\ddot{q}=-\omega^{2} q\] 즉 \(\ddot{q}+\omega^{2} q=0\)
  • 보존량 \(L_ 1(q,p)=H(q,p)\)
  • 작용-각 변수 \(I\), \(H=\omega I\) 따라서 \(\partial H/\partial I=\omega\) angle 변수 \({\theta}\), \(\dot{\theta}=\omega\) 따라서 \(\theta = \omega t+\theta_0\)

단진자



the an-harmonic oscillator in 2 dim

이체 문제 (two-body problem)

geodesic motion on an ellipsoid



헤논-헤일스 방정식 (Hénon-Heiles Equation)


링크

메모

  • 이체 문제 (케플러 문제, 쿨롱 문제)
  • 단진자
  • the double pendulum
  • the free rigid body
  • the rigid body with a fixed point(= tops - Euler top, Lagrange top,Kovaleskaya top)
  • 고전 단순 조화 진동자
  • the an-harmonic oscillator in 2 dim
  • the motion of a particle in a central potential
  • the motion on a sphere with a harmonic potential
  • the geodesic motion on an ellipsoid (Jacobi's geodesic flow on an ellipsoid)
  • the geodesic motion on a surface of revolution
  • the geodesic motion on a torus
  • the geodesic motion on a quartic
  • the geodesic motion on SO(3)
  • the Moser system
  • the Calogero-Sutherland systems
  • the Calogero-Moser systems
  • the Toda lattices (periodic, non-periodic, non-abelian)
  • the Clebsh rigid body in an ideal fluid,
  • the n-dimensional rigid body
  • the Garnier system
  • the Gaudin systems
  • KdV equation

매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'lagrange'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'euler'}, {'LOWER': 'and'}, {'LOWER': 'kovalevskaya'}, {'LEMMA': 'top'}]
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