고전역학에서의 적분가능 모형

수학노트
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적분가능 모형

  • 고전/양자 역학에서의 적분가능 모형은 교환법칙을 만족시키는 적분들 또는 보존량의 존재를 특징으로 함
  • 자유도가 N으로 주어진 계
  • 해밀토니안 \(H(q,p)\)
  • 위치 변수 \(q=(q_ 1,\cdots,q_N)\)
  • 운동량 변수 \(p=(p_ 1,\cdots,p_N)\)
  • 운동방정식

$$ \left\{ \begin{array}{c} \begin{aligned} \dot{q}_i&=\frac{\partial H}{\partial p_i} \\ \dot{p}_i&=-\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{aligned} \end{array} \right. $$

보존량과 포아송 괄호

  • 적분가능계가 되기 위해서는 $N$개의 독립인 보존량(또는 제1적분) \(L_ 1(x),\cdots,L_N(x)\)이 필요하다
  • 두 함수 \(f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)\)에 대한 포아송 괄호를 다음과 같이 정의

\[\{f,g\} : = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]\]

  • $L$과 $H$의 포아송 괄호

\[ \begin{aligned} \{L,H\}&=\sum_{i=1}^N \left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial L}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} \right]\\ &=\sum_{i=1}^N \left[\frac{\partial L}{\partial q_{i}} \dot{q}_i + \frac{\partial L}{\partial p_{i}} \dot{p}_i \right] \\ &=\frac{d L}{d t} \end{aligned} \]

  • 보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다

$$ \begin{array}{c} \{L_i,H\}=0 \\ \{L_i,L_j\}=0 \end{array} $$

작용-각(action-angle) 변수

  • 작용 변수 \(I(p,q)\), 각 변수 \(\theta(p,q)\)를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 \(H(I,\theta)\)
  • 다음 조건을 만족시켜야 한다

$$ \left\{ \begin{array}{c} \begin{aligned} \dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega \\ \partial H/\partial \theta=0 \end{aligned} \end{array} \right. $$

자유낙하하는 물체

  • 해밀토니안\[H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+mgq\] g는 중력가속도. m은 입자의 질량
  • 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-mg\]
  • 운동방정식\[\ddot{q}=-g\]
  • 보존량\(E=L_ 1(q,p)=H(q,p)\)은 에너지

\[\dot{E}=\frac{p\dot{p}}{m}+mg\dot{q}=\frac{p(-mg)}{m}+mg\frac{p}{m}=0\]


단순조화진동자(simple harmonic oscillator)

  • 고전 단순 조화 진동자 항목 참조
  • 질량 m, 각속도 \(\omega\) 인 조화진동자
  • 해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2\]
  • 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
  • 운동방정식\[\ddot{q}=-\omega^{2} q\] 즉 \(\ddot{q}+\omega^{2} q=0\)
  • 보존량 \(L_ 1(q,p)=H(q,p)\)
  • 작용-각 변수 \(I\), \(H=\omega I\) 따라서 \(\partial H/\partial I=\omega\) angle 변수 \({\theta}\), \(\dot{\theta}=\omega\) 따라서 \(\theta = \omega t+\theta_0\)

단진자



the an-harmonic oscillator in 2 dim

이체 문제 (two-body problem)

geodesic motion on an ellipsoid



헤논-헤일스 방정식 (Hénon-Heiles Equation)


링크

메모

  • 이체 문제 (케플러 문제, 쿨롱 문제)
  • 단진자
  • the double pendulum
  • the free rigid body
  • the rigid body with a fixed point(= tops - Euler top, Lagrange top,Kovaleskaya top)
  • 고전 단순 조화 진동자
  • the an-harmonic oscillator in 2 dim
  • the motion of a particle in a central potential
  • the motion on a sphere with a harmonic potential
  • the geodesic motion on an ellipsoid (Jacobi's geodesic flow on an ellipsoid)
  • the geodesic motion on a surface of revolution
  • the geodesic motion on a torus
  • the geodesic motion on a quartic
  • the geodesic motion on SO(3)
  • the Moser system
  • the Calogero-Sutherland systems
  • the Calogero-Moser systems
  • the Toda lattices (periodic, non-periodic, non-abelian)
  • the Clebsh rigid body in an ideal fluid,
  • the n-dimensional rigid body
  • the Garnier system
  • the Gaudin systems
  • KdV equation

매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문