"'142857의 신비' 해설"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지를 개설하였습니다.)
 
 
(사용자 2명의 중간 판 22개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 +
==개요==
  
 +
* 인터넷에 떠돌아다니고 있는 ‘[http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/01/724 142857의 신비]‘에 대한 이해
 +
 +
세상에서 가장 신비한 수는 142857 이라는 수입니다.
 +
 +
평범해보이는 이 수가 왜 그렇게 신비한걸까요? 142857에 1부터 6까지 차례로 곱해볼까요? 142857 X 1 = 142857 142857 X 2 = 285714 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428 142857 X 5 = 714285 142857 X 6 = 857142 이렇게 똑같은 숫자가 자릿수만 바꿔서 나타나니 신기하죠. 그러면 142857 에 7을 곱하면 얼마일까요? 답은 놀랍게도 999999 입니다. 게다가 142 + 857 = 999 이고 14 + 28 + 57 = 99 입니다. 마지막으로 142857 을 제곱하면 얼마가 될까요? 142857 을 제곱하면 20408122449 라는 수가 나오는데 20408 + 122449 = 142857 이 된답니다.
 +
 +
*  수학적 배경
 +
** [[분수와 순환소수]]
 +
** [[합동식 (모듈로 modulo 연산)]]
 +
** [[합동식과 군론]]
 +
 +
 +
 +
==나눗셈과정과 표만들기==
 +
 +
* <math>1/7=0.142857142857\cdots</math>를 얻는 나누기 과정
 +
 +
 +
 +
* 나누기 과정의 요약
 +
 +
1 ->10 ÷ 7 = '''1''' … 3 ->30 ÷ 7 = '''4''' … 2 ->20 ÷ 7 = '''2''' … 6 ->60 ÷ 7 = '''8''' … 4 ->40 ÷ 7 = '''5''' … 5 ->50 ÷ 7 = '''7''' … 1 -> … 무한반복 …
 +
 +
* 표로 만들기
 +
 +
1 3 2 6 4 5 … ↓/ ↓/ ↓/ ↓ / ↓/ ↓ / ↓'''1 4 2  8 5 7 …'''
 +
 +
* 위의 표의 사용방법은 [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/04/729 지난 글]에 설명되어 있으니, 반드시 숙지
 +
* 중요한 것은 표에 있는 화살표 따라가기
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==142857과 곱하기==
 +
 +
142857에 1부터 6까지 차례로 곱해볼까요? 142857 X 1 = 142857 142857 X 2 = 285714 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428 142857 X 5 = 714285 142857 X 6 = 857142
 +
 +
그러면 142857 에 7을 곱하면 얼마일까요? 답은 놀랍게도 999999 입니다.
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
'''[해설]''':<math> 142857 = \frac{1 \times 10^6}{7} - \frac{1}{7} = 142857</math>:<math> 142857 \times 2 = \frac{2 \times 10^6}{7} - \frac{2}{7} = 285714</math>:<math> 142857 \times 3 = \frac{3 \times 10^6}{7} - \frac{3}{7} = 428571</math>:<math> 142857 \times 4 = \frac{4 \times 10^6}{7} - \frac{4}{7} = 571428</math>:<math> 142857 \times 5 = \frac{5 \times 10^6}{7} - \frac{5}{7} = 714285</math>:<math> 142857 \times 6 = \frac{6 \times 10^6}{7} - \frac{6}{7} = 857142</math>:<math> 142857 \times 7 = \frac{7 \times 10^6}{7} - \frac{7}{7} = 1000000 - 1 = 999999</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==142857과 더하기==
 +
 +
 +
 +
게다가 142 + 857 = 999 이고
 +
 +
14 + 28 + 57 = 99 입니다.
 +
 +
 +
 +
'''[해설]''':<math>142 = \frac{1 \times 10^3}{7} - \frac{6}{7}</math>:<math>857 = \frac{6 \times 10^3}{7} - \frac{1}{7}</math>:<math>142 + 857 = 1000 - 1 = 999</math>:<math>14 = \frac{1 \times 10^2}{7} - \frac{2}{7}</math>:<math>28 = \frac{2 \times 10^2}{7} - \frac{4}{7}</math>:<math>57 = \frac{4 \times 10^2}{7} - \frac{1}{7}</math>:<math>14 +28 + 57 = 100 - 1 = 99</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==142857의 제곱==
 +
마지막으로 142857 을 제곱하면 얼마가 될까요? 142857 을 제곱하면 20408122449 라는 수가 나오는데 20408 + 122449 = 142857 이 된답니다.
 +
 +
 +
'''[해설]''':<math>142857^2 = (\frac{1 \times 10^6}{7} - \frac{1}{7})^2 = \frac{1 \times 10^{12}}{49} - \frac{2 \times 10^6}{49} + \frac{1}{49}</math>
 +
 +
 +
 +
이 단계에서는 이제 7이 아닌 49를 다루기 위한 표가 필요하다.
 +
 +
 +
 +
1 ÷ 49 = 0.'''020408'''163265306122448979591836734693877551'''020408'''16…
 +
 +
 +
 +
이제 1/7에서와 같은 방법으로 다음 표를 만든다. 이제 화살표는 생략
 +
 +
 +
 +
{|
 +
|-
 +
| 나머지
 +
| 1
 +
| 10
 +
| 2
 +
| 20
 +
| 4
 +
| 40
 +
| 8
 +
| 31
 +
| 16
 +
| 13
 +
| 32
 +
| 26
 +
| 15
 +
| 3
 +
| 30
 +
|-
 +
| 몫
 +
| 0
 +
| 2
 +
| 0
 +
| 4
 +
| 0
 +
| 8
 +
| 1
 +
| 6
 +
| 3
 +
| 2
 +
| 6
 +
| 5
 +
| 3
 +
| 0
 +
| 6
 +
|}
 +
 +
 +
 +
 +
 +
표는 오른쪽으로 계속되지만 이 정도면 목적을 달성하기에 충분하다. 이제 이 표를 활용하면,
 +
 +
 +
 +
<math>\frac{1 \times 10^{12}}{49} = 020408163265 +\frac{15}{49}</math>
 +
 +
 +
 +
<math>\frac{2 \times 10^6}{49} = 040816 +\frac{16}{49}</math>
 +
 +
 +
 +
<math>\frac{1}{49}= 0 + \frac{1}{49}</math>
 +
 +
 +
 +
따라서
 +
 +
 +
 +
<math>142857^2 = \frac{1 \times 10^{12}}{49} - \frac{2 \times 10^6}{49}+\frac{1}{49} = 20408163265 - 40816 + \frac{15}{49} - \frac{16}{49} +\frac{1}{49}</math>
 +
 +
 +
 +
<math>= 20408122449</math>
 +
 +
 +
 +
이제 모든 준비가 끝났다.
 +
 +
 +
 +
 +
 +
위에서 20408122449는 아래와 같은 과정을 거쳐서 얻어졌다. 20408 + 122449 = 20408 + 163265 – 40816
 +
 +
 +
 +
'''20408, 163265, 40816 은 모두 위의 표에서 아래줄에 있는 숫자들을 연달아 써놓은 녀석들이 아니던가, 그렇다면 표를 통해서 분모가 49인 분수를 사용하여 표현할 수 있다.'''
 +
 +
 +
 +
<math>20408 = \frac{10 \times 10^5}{49} -\frac{8}{49}</math>
 +
 +
<math>163265 = \frac{80 \times 10^5}{49} -\frac{15}{49}</math>
 +
 +
 +
 +
<math>40816 = \frac{20 \times 10^5}{49} -\frac{16}{49}</math>
 +
 +
 +
 +
<math>20408 + 163265 - 40816 = \frac{(10+80-20) \times 10^5}{49} -\frac{(8+15-16)}{49}= \frac{70 \times 10^5}{49}-\frac{7}{49}</math>
 +
 +
 +
 +
정리하면,
 +
 +
 +
 +
<math>20408 + 122449 = \frac{10^6}{7}-\frac{1}{7}</math>
 +
 +
 +
 +
이 녀석은 이제는 너무나 익숙해져버린 142857 이 아니던가.
 +
 +
 +
 +
==관련된 항목들==
 +
* [[미디의 정리(Midy's theorem)]]
 +
 +
 +
==블로그==
 +
 +
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/04/730 142857와 군론의 만남(3) : 142857의 신비, 완벽해설!]
 +
** 피타고라스의 창, 2008-9-4

2020년 12월 28일 (월) 01:41 기준 최신판

개요

세상에서 가장 신비한 수는 142857 이라는 수입니다.

평범해보이는 이 수가 왜 그렇게 신비한걸까요? 142857에 1부터 6까지 차례로 곱해볼까요? 142857 X 1 = 142857 142857 X 2 = 285714 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428 142857 X 5 = 714285 142857 X 6 = 857142 이렇게 똑같은 숫자가 자릿수만 바꿔서 나타나니 신기하죠. 그러면 142857 에 7을 곱하면 얼마일까요? 답은 놀랍게도 999999 입니다. 게다가 142 + 857 = 999 이고 14 + 28 + 57 = 99 입니다. 마지막으로 142857 을 제곱하면 얼마가 될까요? 142857 을 제곱하면 20408122449 라는 수가 나오는데 20408 + 122449 = 142857 이 된답니다.


나눗셈과정과 표만들기

  • \(1/7=0.142857142857\cdots\)를 얻는 나누기 과정


  • 나누기 과정의 요약
1 ->10 ÷ 7 = 1 … 3 ->30 ÷ 7 = 4 … 2 ->20 ÷ 7 = 2 … 6 ->60 ÷ 7 = 8 … 4 ->40 ÷ 7 = 5 … 5 ->50 ÷ 7 = 7 … 1 -> … 무한반복 …
  • 표로 만들기

1 3 2 6 4 5 … ↓/ ↓/ ↓/ ↓ / ↓/ ↓ / ↓1 4 2 8 5 7 …

  • 위의 표의 사용방법은 지난 글에 설명되어 있으니, 반드시 숙지
  • 중요한 것은 표에 있는 화살표 따라가기



142857과 곱하기

142857에 1부터 6까지 차례로 곱해볼까요? 142857 X 1 = 142857 142857 X 2 = 285714 142857 X 3 = 428571 142857 X 4 = 571428 142857 X 5 = 714285 142857 X 6 = 857142

그러면 142857 에 7을 곱하면 얼마일까요? 답은 놀랍게도 999999 입니다.




[해설]\[ 142857 = \frac{1 \times 10^6}{7} - \frac{1}{7} = 142857\]\[ 142857 \times 2 = \frac{2 \times 10^6}{7} - \frac{2}{7} = 285714\]\[ 142857 \times 3 = \frac{3 \times 10^6}{7} - \frac{3}{7} = 428571\]\[ 142857 \times 4 = \frac{4 \times 10^6}{7} - \frac{4}{7} = 571428\]\[ 142857 \times 5 = \frac{5 \times 10^6}{7} - \frac{5}{7} = 714285\]\[ 142857 \times 6 = \frac{6 \times 10^6}{7} - \frac{6}{7} = 857142\]\[ 142857 \times 7 = \frac{7 \times 10^6}{7} - \frac{7}{7} = 1000000 - 1 = 999999\]





142857과 더하기

게다가 142 + 857 = 999 이고

14 + 28 + 57 = 99 입니다.


[해설]\[142 = \frac{1 \times 10^3}{7} - \frac{6}{7}\]\[857 = \frac{6 \times 10^3}{7} - \frac{1}{7}\]\[142 + 857 = 1000 - 1 = 999\]\[14 = \frac{1 \times 10^2}{7} - \frac{2}{7}\]\[28 = \frac{2 \times 10^2}{7} - \frac{4}{7}\]\[57 = \frac{4 \times 10^2}{7} - \frac{1}{7}\]\[14 +28 + 57 = 100 - 1 = 99\]



142857의 제곱

마지막으로 142857 을 제곱하면 얼마가 될까요? 142857 을 제곱하면 20408122449 라는 수가 나오는데 20408 + 122449 = 142857 이 된답니다.


[해설]\[142857^2 = (\frac{1 \times 10^6}{7} - \frac{1}{7})^2 = \frac{1 \times 10^{12}}{49} - \frac{2 \times 10^6}{49} + \frac{1}{49}\]


이 단계에서는 이제 7이 아닌 49를 다루기 위한 표가 필요하다.


1 ÷ 49 = 0.02040816326530612244897959183673469387755102040816…


이제 1/7에서와 같은 방법으로 다음 표를 만든다. 이제 화살표는 생략


나머지 1 10 2 20 4 40 8 31 16 13 32 26 15 3 30
몫 0 2 0 4 0 8 1 6 3 2 6 5 3 0 6



표는 오른쪽으로 계속되지만 이 정도면 목적을 달성하기에 충분하다. 이제 이 표를 활용하면,


\(\frac{1 \times 10^{12}}{49} = 020408163265 +\frac{15}{49}\)


\(\frac{2 \times 10^6}{49} = 040816 +\frac{16}{49}\)


\(\frac{1}{49}= 0 + \frac{1}{49}\)


따라서


\(142857^2 = \frac{1 \times 10^{12}}{49} - \frac{2 \times 10^6}{49}+\frac{1}{49} = 20408163265 - 40816 + \frac{15}{49} - \frac{16}{49} +\frac{1}{49}\)


\(= 20408122449\)


이제 모든 준비가 끝났다.



위에서 20408122449는 아래와 같은 과정을 거쳐서 얻어졌다. 20408 + 122449 = 20408 + 163265 – 40816


20408, 163265, 40816 은 모두 위의 표에서 아래줄에 있는 숫자들을 연달아 써놓은 녀석들이 아니던가, 그렇다면 표를 통해서 분모가 49인 분수를 사용하여 표현할 수 있다.


\(20408 = \frac{10 \times 10^5}{49} -\frac{8}{49}\)

\(163265 = \frac{80 \times 10^5}{49} -\frac{15}{49}\)


\(40816 = \frac{20 \times 10^5}{49} -\frac{16}{49}\)


\(20408 + 163265 - 40816 = \frac{(10+80-20) \times 10^5}{49} -\frac{(8+15-16)}{49}= \frac{70 \times 10^5}{49}-\frac{7}{49}\)


정리하면,


\(20408 + 122449 = \frac{10^6}{7}-\frac{1}{7}\)


이 녀석은 이제는 너무나 익숙해져버린 142857 이 아니던가.


관련된 항목들


블로그

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=%27142857의_신비%27_해설&oldid=47764"