"근과 계수와의 관계"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:00 기준 최신판

개요

다항식의 계수와 근이 서로 만족시키는 관계
\(n\)차의 복소계수다항식

\[P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, \]

대수학의 기본정리에 의해, \(P(x)\)는 \(n\)개의 복소수 근 \(x_1,\cdots, x_n\)을 갖는다
근과 계수와의 관계는 다음을 말한다

\[\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}\]

다음과 같이 표현할 수 있다

\[\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n} \label{ele}\]

\ref{ele}의 좌변을 \(n\)개의 변수 \(x_1,\cdots, x_n\)에 대한 \(k\)차 초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)이라 부른다

예

다음은 중고등학교의 수학에 등장하는 근과 계수와의 관계이다

2차식

다항식 \(ax^2+bx+c\)의 근이 \(\alpha, \beta\)라 하면, 다음이 성립한다

\[ \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a} \]

3차식

다항식 \(ax^3+bx^2+cx+d\)의 근이 \(\alpha, \beta,\gamma\)라 하면, 다음이 성립한다

\[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \]

역사

16세기 비에타
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
수학사 연표

메모

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Blum-Smith, Ben, and Samuel Coskey. “The Fundamental Theorem on Symmetric Polynomials: History’s First Whiff of Galois Theory.” arXiv:1301.7116 [math], January 29, 2013. http://arxiv.org/abs/1301.7116.

메타데이터

위키데이터

ID : Q570779

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'vieta'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'formula'}]

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-<h5>간단한 요약</h5>
+==개요==
-* 다항식의 계수와 근이 서로 만족시키는 관계.
+* 다항식의 계수와 근이 서로 만족시키는 관계
-* 근을 구하지 않고, 근에 대한 정보를 어느 정도 알 수 있게 해줌.
+* <math>n</math>차의 복소계수다항식
+:<math>P(x)=a_nx^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, </math>
+* [[대수학의 기본정리]]에 의해, <math>P(x)</math>는 <math>n</math>개의 복소수 근 <math>x_1,\cdots, x_n</math>을 갖는다
+* 근과 계수와의 관계는 다음을 말한다
+:<math>\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\
+(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
+{} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}</math>
+* 다음과 같이 표현할 수 있다
+: <math>\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n} \label{ele}</math>
+* \ref{ele}의 좌변을 <math>n</math>개의 변수 <math>x_1,\cdots, x_n</math>에 대한 <math>k</math>차 [[초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)]]이라 부른다
-<h5>배우기 전에 알고 있어야 하는 것들</h5>
+==예==
+* 다음은 중고등학교의 수학에 등장하는 근과 계수와의 관계이다
+===2차식===
+* 다항식 <math>ax^2+bx+c</math>의 근이 <math>\alpha, \beta</math>라 하면, 다음이 성립한다
+:<math>
+\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a}
+</math>
+===3차식===
+* 다항식 <math>ax^3+bx^2+cx+d</math>의 근이 <math>\alpha, \beta,\gamma</math>라 하면, 다음이 성립한다
+:<math>
+\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}
+</math>
-* 다항식
+==역사==
+* 16세기 비에타
+* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
+* [[수학사 연표]]
-<h5>중요한 개념 및 정리</h5>
+==메모==
-<h5>재미있는 문제</h5>
+==관련된 항목들==
-<h5>관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들</h5>
+* [[추상대수학]]
+* [[근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식|근과 계수에 관한 뉴턴의 항등식]]
-<h5>관련있는 다른 과목</h5>
+==사전 형태의 자료==
+* http://ko.wikipedia.org/wiki/근과_계수의_관계
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta's_formulas
+* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
+** [http://eom.springer.de/V/v096630.htm Viète theorem]
+* http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
+* Blum-Smith, Ben, and Samuel Coskey. “The Fundamental Theorem on Symmetric Polynomials: History’s First Whiff of Galois Theory.” arXiv:1301.7116 [math], January 29, 2013. http://arxiv.org/abs/1301.7116.
-<h5>관련된 대학교 수학</h5>
-* [[추상대수학]]<br>
+[[분류:고교수학]]
-** [[근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식|뉴턴의 항등식]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
-<h5>참고할만한 도서 및 자료</h5>
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q570779 Q570779]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'vieta'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'formula'}]
-<h5>동영상 강좌</h5>