근과 계수와의 관계

수학노트
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개요

  • 다항식의 계수와 근이 서로 만족시키는 관계
  • $n$차의 복소계수다항식

\[P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, \]

  • 대수학의 기본정리에 의해, $P(x)$는 $n$개의 복소수 근 $x_1,\cdots, x_n$을 갖는다
  • 근과 계수와의 관계는 다음을 말한다

\[\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}\]

  • 다음과 같이 표현할 수 있다

\[\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n} \tag{1}\]


  • 다음은 중고등학교의 수학에 등장하는 근과 계수와의 관계이다

2차식

  • 다항식 $ax^2+bx+c$의 근이 $\alpha, \beta$라 하면, 다음이 성립한다

$$ \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a} $$

3차식

  • 다항식 $ax^3+bx^2+cx+d$의 근이 $\alpha, \beta,\gamma$라 하면, 다음이 성립한다

$$ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} $$  

역사

 

 

메모

 

 

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사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Blum-Smith, Ben, and Samuel Coskey. “The Fundamental Theorem on Symmetric Polynomials: History’s First Whiff of Galois Theory.” arXiv:1301.7116 [math], January 29, 2013. http://arxiv.org/abs/1301.7116.