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<h5>개요</h5>
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==개요==
  
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* 다항식의 계수와 근이 서로 만족시키는 관계.
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* 다항식의 계수와 근이 서로 만족시키는 관계
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* 근을 구하지 않고, 근에 대한 정보를 어느 정도 알 수 있게 해줌.
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* <math>n</math>차의 복소계수다항식
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:<math>P(x)=a_nx^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, </math>
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* [[대수학의 기본정리]]에 의해, <math>P(x)</math>는 <math>n</math>개의 복소수 근 <math>x_1,\cdots, x_n</math>을 갖는다
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* 근과 계수와의 관계는 다음을 말한다
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:<math>\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\
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(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
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{} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}</math>
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* 다음과 같이 표현할 수 있다
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: <math>\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n} \label{ele}</math>
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* \ref{ele}의 좌변을 <math>n</math>개의 변수 <math>x_1,\cdots, x_n</math>에 대한 <math>k</math>차 [[초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)]]이라 부른다
  
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==예==
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* 다음은 중고등학교의 수학에 등장하는 근과 계수와의 관계이다
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===2차식===
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* 다항식 <math>ax^2+bx+c</math>의 근이 <math>\alpha, \beta</math>라 하면, 다음이 성립한다
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\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a}
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===3차식===
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* 다항식 <math>ax^3+bx^2+cx+d</math>의 근이 <math>\alpha, \beta,\gamma</math>라 하면, 다음이 성립한다
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\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}
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<h5>배우기 전에 알고 있어야 하는 것들</h5>
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==역사==
  
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* 다항식
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* 16세기 비에타
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
  
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<h5>중요한 개념 및 정리</h5>
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비에타의 정리(Vieta's Theorem)
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==메모==
  
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<h5>재미있는 문제</h5>
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==관련된 항목들==
  
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* [[추상대수학]]
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* [[근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식|근과 계수에 관한 뉴턴의 항등식]]
  
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<h5>관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들</h5>
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/근과_계수의_관계
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta's_formulas
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* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
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** [http://eom.springer.de/V/v096630.htm Viète theorem]
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* http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html
  
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<h5>관련있는 다른 과목</h5>
 
  
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Blum-Smith, Ben, and Samuel Coskey. “The Fundamental Theorem on Symmetric Polynomials: History’s First Whiff of Galois Theory.” arXiv:1301.7116 [math], January 29, 2013. http://arxiv.org/abs/1301.7116.
  
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<h5>관련된 대학교 수학</h5>
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[[분류:고교수학]]
  
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* [[추상대수학]]<br>
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==메타데이터==
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** [[근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식|뉴턴의 항등식]]
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q570779 Q570779]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'vieta'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'formula'}]
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<h5>참고할만한 도서 및 자료</h5>
 
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http://mathworld.wolfram.com/VietasFormulas.html
 
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<h5>동영상 강좌</h5>
 

2021년 2월 17일 (수) 04:00 기준 최신판

개요

  • 다항식의 계수와 근이 서로 만족시키는 관계
  • \(n\)차의 복소계수다항식

\[P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \, \]

  • 대수학의 기본정리에 의해, \(P(x)\)는 \(n\)개의 복소수 근 \(x_1,\cdots, x_n\)을 갖는다
  • 근과 계수와의 관계는 다음을 말한다

\[\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ (x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\ {} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}\]

  • 다음과 같이 표현할 수 있다

\[\sum_{1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k\le n} x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n} \label{ele}\]


예

  • 다음은 중고등학교의 수학에 등장하는 근과 계수와의 관계이다

2차식

  • 다항식 \(ax^2+bx+c\)의 근이 \(\alpha, \beta\)라 하면, 다음이 성립한다

\[ \alpha+\beta=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta=\frac{c}{a} \]

3차식

  • 다항식 \(ax^3+bx^2+cx+d\)의 근이 \(\alpha, \beta,\gamma\)라 하면, 다음이 성립한다

\[ \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a},\quad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a},\quad \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a} \]


역사



메모

관련된 항목들



사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Blum-Smith, Ben, and Samuel Coskey. “The Fundamental Theorem on Symmetric Polynomials: History’s First Whiff of Galois Theory.” arXiv:1301.7116 [math], January 29, 2013. http://arxiv.org/abs/1301.7116.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'vieta'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'formula'}]
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