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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
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* <math>\mathbb R^n</math> 은 division algebra이다 <math>\iff</math><math>n=1,2,4,8</math>
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* <math>\mathbb R^n</math> 은 division algebra이다 <math>\iff</math><math>n=1,2,4,8</math>
 
* <math>S^n</math> 는 H-space 이다. <math>\iff</math><math>n=0,1,3,7</math>
 
* <math>S^n</math> 는 H-space 이다. <math>\iff</math><math>n=0,1,3,7</math>
 
* <math>S^n</math> 은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 <math>\iff</math><math>n=0,1,3,7</math>
 
* <math>S^n</math> 은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 <math>\iff</math><math>n=0,1,3,7</math>
 
* fiber 번들 <math>S^p \to S^q \to S^r</math> 이 존재한다. <math>\iff</math><math>(p,q,r) = (0,1,1),(1,3,2),(3,7,4),(7,15,8)</math>
 
* fiber 번들 <math>S^p \to S^q \to S^r</math> 이 존재한다. <math>\iff</math><math>(p,q,r) = (0,1,1),(1,3,2),(3,7,4),(7,15,8)</math>
  
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<h5>프로베니우스의 정리</h5>
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==프로베니우스의 정리==
  
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* 실수 위에 정의된 유한차원 associative division algebras
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* 실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 [[division algebras|division algebra]]
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* Frobenius’ theorem: any associative division algebra over R is isomorphic to R, C or H.
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* 프로베니우스의 정리 실수체 <math>\Bbb{R}</math> 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 나눗셈대수(division algebra)는 실수 <math>\Bbb{R}</math>, 복소수 <math>\Bbb{C}</math>, 사원수 <math>\Bbb{H}</math> 뿐이다
  
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<h5>Hurwitz's theorem for composition algebras (normed division algebras)</h5>
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* 결합법칙을 가정하지 않는 경우
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==composition 대수에 관한 후르비츠의 정리==
  
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a '''normed division algebra'''<em style="">A</em> is a [http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algebra division algebra] over the [http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number real] or [http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number complex] numbers which is also a [http://en.wikipedia.org/wiki/Normed_vector_space normed vector space], with norm || · || satisfying the following property:
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* 체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 <math>1\cdot x = x \cdot 1= x</math>을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다
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*  후르비츠의 정리 실수체 <math>\Bbb{R}</math> 위에 정의된 composition 대수는 실수 <math>\Bbb{R}</math>, 복소수 <math>\Bbb{C}</math>, 사원수 <math>\Bbb{H}</math>, 팔원수 <math>\Bbb{O}</math> 뿐이다.
  
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: <math>\|xy\| = \|x\| \|y\|</math> for all <em style="">x</em> and <em style="">y</em> in <em style="">A</em>.
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*  실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이 나눗셈대수(division algebra)구조를 갖고 다음을 만족시킬 경우, normed 나눗셈대수로 정의:<math> \|x \, y\| \ = \|x \| \, \| y\|</math>
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* normed 나눗셈대수(division algebra) 는 composition 대수의 특별한 경우이다
  
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<br>'''composition algebra'''<em style="">A</em> over a [http://en.wikipedia.org/wiki/Field_%28mathematics%29 field]<em style="">K</em> is a [http://en.wikipedia.org/wiki/Unital unital] (but not necessarily [http://en.wikipedia.org/wiki/Associative associative]) [http://en.wikipedia.org/wiki/Algebra_over_a_field algebra] over <em style="">K</em> together with a [http://en.wikipedia.org/wiki/Nondegenerate nondegenerate][http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_form quadratic form]<em style="">N</em> which satisfies
+
  
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: <math>N(xy) = N(x)N(y)\,</math>
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for all <em style="">x</em> and <em style="">y</em> in <em style="">A</em>.
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==관련된 고교수학 또는 대학수학==
  
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* 복소수
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* [[벡터의 외적(cross product)|외적]]
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* 사원수
  
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Normed division algebras are a special case of composition algebras
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(정리) Hurwitz
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==관련된 항목들==
  
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The only composition algebras over <math>\Bbb{R}</math> are <math>\Bbb{R}</math>,<math>\Bbb{C}</math>, <math>\Bbb{H}</math>, and <math>\Bbb{O}</math> , that is the real numbers, the complex numbers, the quaternions and the octonions.
+
* [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]]
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* [[parallelizability of the spheres]]
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* [[호프 fibrations]]
  
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<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
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==수학용어번역==
  
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* 복소수
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* division algebra 나눗셈 대수
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* [[벡터의 외적(cross product)|외적]]
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* {{학술용어집|url=division}}
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* 사원수
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* {{학술용어집|url=norm}}
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=division
 +
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=norm
 +
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 +
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
  
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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* [[해밀턴의 사원수(quarternions)|해밀턴의 사원수]]
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* Parallelizability of Spheres
 
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* 호프 fibrations
 
  
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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==관련도서==
  
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*  General Cohomology Theory and K-Theory (London Mathematical Society Lecture Note Series) (Paperback)<br>
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*  General Cohomology Theory and K-Theory (London Mathematical Society Lecture Note Series) (Paperback)
 
** P. J. Hilton
 
** P. J. Hilton
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*  On Quaternions and Octonions<br>
+
*  On Quaternions and Octonions
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** John H. Conway, Derek A. Smith
+
** John H. Conway, Derek A. Smith, A.K. Peters, 2003.
−
** A.K. Peters, 2003.
+
*  Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics
−
*  Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics<br>
+
** Geoffrey Dixon, July 1994
−
** Geoffrey Dixon
+
* [http://www.math.cornell.edu/%7Ehatcher/VBKT/VBpage.html Vector Bundles & K-Theory]
−
** July 1994
 
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* [http://www.math.cornell.edu/%7Ehatcher/VBKT/VBpage.html Vector Bundles & K-Theory]<br>
 
 
** Allen Hatcher
 
** Allen Hatcher
−
*  도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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==사전형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algebra
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algebra
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz%27s_theorem#Hurwitz.27s_theorem_for_composition_algebras
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz%27s_theorem_%28normed_division_algebras%29 http://en.wikipedia.org/wiki/Hurwitz's_theorem_(normed_division_algebras)]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Composition_algebra
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Composition_algebra
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Normed_division_algebra
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Normed_division_algebra
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://viswiki.com/en/
 
−
* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
 
−
* http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
 
−
* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
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<h5>관련논문</h5>
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2315620 The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces]<br>
 
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** Bertram Walsh, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2323537 Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces]<br>
 
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** W. S. Massey, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701
 
−
* [http://www.jstor.org/stable/1970147 On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One]<br>
 
−
** J. F. Adams, <cite style="line-height: 2em;">The Annals of Mathematics</cite>, Second Series, Vol. 72, No. 1 (Jul., 1960), pp. 20-104
 
−
* [http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ The Octonions]<br>
 
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** John Baez, AMS 2001
 
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* [http://www.jstor.org/stable/2315349 The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space]<br>
 
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** Kenneth O. May, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 73, No. 3 (Mar., 1966), pp. 289-291
 
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<h5>관련기사</h5>
 
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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<h5>블로그</h5>
 
  
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 
  
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<h5>이미지 검색</h5>
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==관련논문==
  
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* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
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* [http://www.jstor.org/stable/3219300 An Elementary Introduction to the Hopf Fibration]
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* http://images.google.com/images?q=
+
**  David W. Lyons, Mathematics Magazine Vol. 76, No. 2 (Apr., 2003), pp. 87-98
−
* [http://www.artchive.com/ http://www.artchive.com]
+
* [http://www.jstor.org/stable/2315620 The Scarcity of Cross Products on Euclidean Spaces]
 +
** Bertram Walsh, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 74, No. 2 (Feb., 1967), pp. 188-194
  
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+
*  The four and eight square problem and division algebras
 +
** CW Curtis, in MAA Studies in Modern Algebra Vol.2, (ed. AA Albert), pp. 100- 125
 +
* [http://www.jstor.org/stable/2323537 Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces]
 +
** W. S. Massey, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), pp. 697-701
 +
* [http://www.jstor.org/stable/1970147 On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One]
 +
** J. F. Adams, <cite style="line-height: 2em;">The Annals of Mathematics</cite>, Second Series, Vol. 72, No. 1 (Jul., 1960), pp. 20-104
 +
* [http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ The Octonions]
 +
** John Baez, AMS 2001
  
−
<h5>동영상</h5>
+
* [http://www.jstor.org/stable/2315349 The Impossibility of a Division Algebra of Vectors in Three Dimensional Space]
 +
** Kenneth O. May, <cite style="line-height: 2em;">The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 73, No. 3 (Mar., 1966), pp. 289-291
 +
[[분류:추상대수학]]
  
−
* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
+
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1231309 Q1231309]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'division'}, {'LEMMA': 'algebra'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:45 기준 최신판

개요

  • \(\mathbb R^n\) 은 division algebra이다 \(\iff\)\(n=1,2,4,8\)
  • \(S^n\) 는 H-space 이다. \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
  • \(S^n\) 은 n개의 일차독립인 벡터장을 갖는다 \(\iff\)\(n=0,1,3,7\)
  • fiber 번들 \(S^p \to S^q \to S^r\) 이 존재한다. \(\iff\)\((p,q,r) = (0,1,1),(1,3,2),(3,7,4),(7,15,8)\)



프로베니우스의 정리

  • 실수 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 유한차원 division algebra
  • 프로베니우스의 정리 실수체 \(\Bbb{R}\) 위에 정의된 결합법칙을 만족하는 나눗셈대수(division algebra)는 실수 \(\Bbb{R}\), 복소수 \(\Bbb{C}\), 사원수 \(\Bbb{H}\) 뿐이다



composition 대수에 관한 후르비츠의 정리

  • 체 위에 정의된 composition 대수는 항등원 1 (즉 모든 원소 x 에 대하여 \(1\cdot x = x \cdot 1= x\)을 만족시키는 원소)을 갖는 normed 대수이다
  • 후르비츠의 정리 실수체 \(\Bbb{R}\) 위에 정의된 composition 대수는 실수 \(\Bbb{R}\), 복소수 \(\Bbb{C}\), 사원수 \(\Bbb{H}\), 팔원수 \(\Bbb{O}\) 뿐이다.
  • 실수나 복소수위에 정의된 norm 이 주어진 벡터공간이 나눗셈대수(division algebra)구조를 갖고 다음을 만족시킬 경우, normed 나눗셈대수로 정의\[ \|x \, y\| \ = \|x \| \, \| y\|\]
  • normed 나눗셈대수(division algebra) 는 composition 대수의 특별한 경우이다



관련된 고교수학 또는 대학수학



관련된 항목들



수학용어번역




관련도서

  • General Cohomology Theory and K-Theory (London Mathematical Society Lecture Note Series) (Paperback)
    • P. J. Hilton
  • On Quaternions and Octonions
    • John H. Conway, Derek A. Smith, A.K. Peters, 2003.
  • Division Algebras: Octonions, Quaternions, Complex Numbers, and the Algebraic Design of Physics
    • Geoffrey Dixon, July 1994
  • Vector Bundles & K-Theory
    • Allen Hatcher


사전형태의 자료



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'division'}, {'LEMMA': 'algebra'}]
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