"다이감마 함수(digamma function)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">간단한 소개</h5>
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==개요==
  
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*  감마함수의 로그미분으로 정의<br>
+
*  감마함수의 로그미분으로 정의
  
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<math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>
+
* [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)|차분방정식]]에서 자연스럽게 등장함.
  
−
* [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)|차분방정식]]의 공부에서 자연스럽게 등장함.<br>
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+
  
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==정의와 급수표현==
  
−
 
+
*  정의:<math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>
 +
*  급수표현:<math>\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, \cdots</math>
  
−
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">차분방정식과의 관계</h5>
+
(증명)
  
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<math>\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}</math>
+
[[감마함수]]의 무한곱표현
  
−
 
+
<math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}</math>
  
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<h5>반사공식</h5>
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위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■
  
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<math>\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }</math>
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* <math>z = 0, -1, -2, -3, \cdots</math> 에서 pole을 가진다
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==함수의 그래프==
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 +
* <math>-3<x<3</math>일 때, <math>\psi(x)</math>의 그래프
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[[파일:다이감마 함수(digamma function)1.gif]]
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 +
 
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==도함수와 polygamma 함수==
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* trigamma  <math>\psi^{(1)}(z)</math>
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* tetragamma <math>\psi^{(2)}(z)</math>
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* pentagamma <math>\psi^{(3)}(z)</math>
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* [[폴리감마함수(polygamma functions)]]
 +
 
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==차분방정식과의 관계==
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* [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)|차분방정식]]:<math>\Delta \psi=\frac{1}{x}</math> 즉,
 +
 
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<math>\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}</math>
 +
 
 +
*  차분방정식의 기본정리를 적용하면:<math>\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)</math>
 +
* [[조화급수와 조화 평균에서 '조화'란?|조화급수]]와의 관계:<math>\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma</math>
 +
*  일반화:<math>\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}</math>
 +
 
 +
 +
 
 +
 +
 
 +
==점근 급수==
 +
* [[점근 급수(asymptotic series)]] <math>x\sim \infty</math> 일 때,
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
\psi(x) - \log(x) &= - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\\
 +
&=-\frac{1}{12 x^2}+\frac{1}{120 x^4}-\frac{1}{252 x^6}+\frac{1}{240 x^8}-\frac{1}{132 x^{10}}+\cdots
 +
\end{align}
 +
</math>
 +
또는
 +
:<math>
 +
\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}
 +
</math> 여기서 <math>B_{n}</math>은 [[베르누이 수]]
 +
 
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−
 
+
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==반사공식==
  
−
 
+
* [[감마함수]]의 반사공식:<math>\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!</math>
 +
*  위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다
  
−
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">덧셈공식</h5>
+
<math>\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }</math>
  
−
 
+
여기서 <math>x</math>를 <math>-x</math>로 두면 다음을 얻는다
  
−
<math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!</math> 의 로그미분을 통해서 다음을 얻을 수 있음.
+
<math>\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }</math>
  
−
<math>\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+\ln 2</math>
+
  
−
 
+
  
−
 
+
==덧셈공식==
  
−
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">가우스의 Digamma 정리</h5>
+
* [[감마함수]]의 곱셈공식에 따른 성질:<math>m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)</math>
  
−
 
+
(증명)
  
−
<math>\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k)  -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)</math>
+
[[감마함수]]의 곱셈공식은 적당한 상수 c에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
  
−
 
+
<math>m^{mz}\Gamma(z)\cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = c\Gamma(mz)</math>
  
−
 
+
변수를 x로 바꾸고, 로그를 취하면,
  
−
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">special values</h5>
+
<math>(m\ln m)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{m-1}{m}\right) =\ln c+\ln \Gamma(mx)</math>
  
−
<math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math>
+
미분하면,
  
−
<math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>
+
<math>m\ln m+\psi(x)+\cdots+\psi(x+\frac{m-1}{m})=m\psi(mx)</math> ■
  
−
<math>\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma</math>
+
*  이항 덧셈공식:<math>2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2</math>
  
−
<math>\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma</math>
 
  
−
<math>\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma</math>
+
  
−
<math>\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma</math>
+
==가우스의 Digamma 정리==
  
−
 
+
<math>\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k)
 +
-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right)
 +
+2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor}
 +
\cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right)
 +
\ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)
 +
</math>
  
−
 
+
<math>\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right)
 +
+2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor}
 +
\cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right)
 +
\ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)
 +
</math>
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">상위 주제</h5>
 
  
−
 
 
  
−
 
+
==special values==
  
−
 
+
<math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math>
  
−
==== 하위페이지 ====
+
<math>\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math>
  
−
* [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br>
+
<math>\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma</math>
−
** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br>
 
  
−
 
+
<math>\psi\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma</math>
  
−
 
+
<math>\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma</math>
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
+
<math>\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma</math>
  
−
 
+
<math>\psi\left(\frac{1}{5}\right) =-\gamma -\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right)</math>
  
−
 
+
<math>\psi\left(\frac{2}{5}\right) =-\gamma -\frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right) </math>
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
+
<math>\psi\left(\frac{3}{5}\right) =-\gamma +\frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right) </math>
  
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br>
+
<math>\psi\left(\frac{4}{5}\right) =-\gamma +\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right)</math>
  
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<math>\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma</math>
  
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<math>\psi\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma</math>
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
 
  
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==역사==
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 다른 주제들</h5>
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
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* 
  
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==메모==
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
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* 도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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*  도서검색<br>
 
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
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==관련된 항목들==
  
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* [[감마함수]]
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* [[디리클레 L-함수]]
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">참고할만한 자료</h5>
 
  
−
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
+
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
+
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS2kzTUV2NTBHX1k/edit
 
* http://www76.wolframalpha.com/input/?i=Digamma+function
 
* http://www76.wolframalpha.com/input/?i=Digamma+function
−
* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
 
−
* http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
 
−
* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
−
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
 
  
−
 
 
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>
 
  
−
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
  
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==수학용어번역==
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* http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=di&page=9
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==사전 형태의 자료==
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
 +
* http://mathworld.wolfram.com/PolygammaFunction.html
  
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
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* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 
  
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==관련논문==
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이미지 검색</h5>
+
* [http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2009.02.007 Linear independence of digamma function and a variant of a conjecture of Rohrlich] Sanoli Gun, M. Ram Murty, and Purusottam Rath, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 8, August 2009, Pages 1858-1873
  
−
* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
 
−
* http://images.google.com/images?q=
 
−
* [http://www.artchive.com/ http://www.artchive.com]
 
  
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+
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==관련도서==
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">동영상</h5>
+
* [http://books.google.com/books?id=yoGvQAAACAAJ Methods of Summation]Bertram Ross
 +
[[분류:특수함수]]
  
−
* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
+
==메타데이터==
−
* <br>
+
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q905326 Q905326]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'digamma'}, {'LEMMA': 'function'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:01 기준 최신판

개요

  • 감마함수의 로그미분으로 정의



정의와 급수표현

  • 정의\[\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\]
  • 급수표현\[\psi(z)=-\frac{1}{z} -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \frac{z}{n(n+z)} , z \neq 0, -1, -2, -3, \cdots\]

(증명)

감마함수의 무한곱표현

\(\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}\)

위의 식에 로그미분을 취하여 얻는다. ■


  • \(z = 0, -1, -2, -3, \cdots\) 에서 pole을 가진다



함수의 그래프

  • \(-3<x<3\)일 때, \(\psi(x)\)의 그래프

다이감마 함수(digamma function)1.gif


도함수와 polygamma 함수



차분방정식과의 관계

\(\psi(x + 1) - \psi(x) = \frac{1}{x}\)

  • 차분방정식의 기본정리를 적용하면\[\sum_{n=a}^{b-1}\frac{1}{n}=\psi(b)-\psi(a)\]
  • 조화급수와의 관계\[\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\psi(N+1)-\psi(1)=\psi(N+1)-\gamma\]
  • 일반화\[\psi^{(n)}(x+1)-\psi^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\]



점근 급수

\[ \begin{align} \psi(x) - \log(x) &= - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}\\ &=-\frac{1}{12 x^2}+\frac{1}{120 x^4}-\frac{1}{252 x^6}+\frac{1}{240 x^8}-\frac{1}{132 x^{10}}+\cdots \end{align} \] 또는 \[ \psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}} \] 여기서 \(B_{n}\)은 베르누이 수



반사공식

  • 감마함수의 반사공식\[\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\]
  • 위의 식을 로그미분하여 다음을 얻는다

\(\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)

여기서 \(x\)를 \(-x\)로 두면 다음을 얻는다

\(\psi(1 + x) = \psi(-x) -\pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }\)



덧셈공식

  • 감마함수의 곱셈공식에 따른 성질\[m\ln m+\psi(z)+ \psi\left(z + \frac{1}{m}\right) + \cdots+ \psi\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = m\psi(mz)\]

(증명)

감마함수의 곱셈공식은 적당한 상수 c에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(m^{mz}\Gamma(z)\cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = c\Gamma(mz)\)

변수를 x로 바꾸고, 로그를 취하면,

\((m\ln m)x+\ln \Gamma(x) +\ln \Gamma\left(x + \frac{m-1}{m}\right) =\ln c+\ln \Gamma(mx)\)

미분하면,

\(m\ln m+\psi(x)+\cdots+\psi(x+\frac{m-1}{m})=m\psi(mx)\) ■

  • 이항 덧셈공식\[2\psi(2x)=\psi(x)+\psi(x+{1\over2})+2\ln 2\]



가우스의 Digamma 정리

\(\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) \)

\(\psi\left(1-\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) +\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor (k-1)/2\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right) \)


special values

\(\psi(1) = -\gamma\,\!\)

\(\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{1}{5}\right) =-\gamma -\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right)\)

\(\psi\left(\frac{2}{5}\right) =-\gamma -\frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right) \)

\(\psi\left(\frac{3}{5}\right) =-\gamma +\frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right) \)

\(\psi\left(\frac{4}{5}\right) =-\gamma +\frac{1}{2} \sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}} \pi -\log (10)+2 \left(\frac{1}{8} \left(\sqrt{5}-1\right) \log \left(\frac{5}{8}-\frac{\sqrt{5}}{8}\right)+\frac{1}{8} \left(-1-\sqrt{5}\right) \log \left(\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}\right)\right)\)

\(\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma\)

\(\psi\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma\)


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  • [{'LOWER': 'digamma'}, {'LEMMA': 'function'}]
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