"대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식"의 두 판 사이의 차이

2020년 12월 28일 (월) 02:12 기준 최신판

개요

슈르 다항식(Schur polynomial)을 이용하여, 대칭군 (symmetric group)의 지표를 계산하는 방법
대칭군 \(S_m\)의 기약표현은 크기가 m인 영 다이어그램(또는 m의 분할)과 일대일대응된다
m의 분할 \(\lambda\)에 대응되는 \(S_m\)의 기약표현의 지표를 \(\chi_{\lambda}\) 로 나타내자
\(C_{\mathbf{i}}=(1^{i_1},2^{i_2},\cdots,m^{i_m})\)를 \(i_1+2i_2+\cdots mi_m=m\)를 만족시키는 대칭군 \(S_m\)의 공액류라 하면, \(\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})\)의 값은 다음 프로베니우스 공식으로 주어진다

\[\left(\sum_{l=1}^{m} x_l\right)^{i_1}\left(\sum_{l=1}^{m} x_l^2\right)^{i_2}\cdots \left(\sum_{l=1}^{m} x_l^m\right)^{i_m}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}(x_1,\cdots, x_m)\] 여기서 \(S_{\lambda}\) 는 슈르 다항식(Schur polynomial)

다음과 같이 표현하기도 한다

\[\prod_{j=1}^{m}P_{j}(x)^{i_j}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}(x_1,\cdots, x_m)\]

예

\(S_3\)

대칭군 \(S_3\) 의 지표 테이블

\begin{array}{c|ccc} & \{1^3\} & \{1^1,2^1\} & \{3^1\} \\ \hline \{3\} & 1 & 1 & 1 \\ \{2,1\} & 2 & 0 & -1 \\ \{1,1,1\} & 1 & -1 & 1 \end{array}

슈르 다항식

\[ \begin{align} S_{(3)} & = &x_1 x_2 x_3+\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-2 \left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\right) \\ S_{(2,1)} & =&\left(x_1+x_2\right) \left(x_1+x_3\right) \left(x_2+x_3\right) \\ S_{(1,1,1)} &= &x_1 x_2 x_3 \end{align} \]

슈르 다항식과 거듭제곱의 합 (power sum) 대칭다항식

\[ \begin{align} \left(x_1+x_2+x_3\right){}^3&=S_{(3)}+2\cdot S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}\\ \left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)& = S_{(3)}+0\cdot S_{(2,1)}-S_{(1,1,1)}\\ x_1^3+x_2^3+x_3^3&=S_{(3)}-1\cdot S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)} \end{align} \]

\(S_4\)

지표 테이블

\begin{array}{c|ccccc} & \{1^4\} & \{1^2,2^1\} & \{1^1,3^1\} & \{2^2\} & \{4^1\} \\ \hline \{4\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{3,1\} & 3 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ \{2,2\} & 2 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ \{2,1,1\} & 3 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ \{1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}

\(S_5\)

지표 테이블

\begin{array}{c|ccccccc} & \{1^5\} & \{1^3,2^1\} & \{1^2,3^1\} & \{1^1,2^2\} & \{1^1,4^1\} & \{2^1,3^1\} & \{5^1\} \\ \hline \{5\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{4,1\} & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ \{3,2\} & 5 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ \{3,1,1\} & 6 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ \{2,2,1\} & 5 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ \{2,1,1,1\} & 4 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ \{1,1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}

\(S_6\)

지표 테이블

\begin{array}{c|ccccccccccc} & \{1^6\} & \{1^4,2^1\} & \{1^3,3^1\} & \{1^2,2^2\} & \{1^2,4^1\} & \{1^1,2^1,3^1\} & \{1^1,5^1\} & \{2^3\} & \{2^1,4^1\} & \{3^2\} & \{6^1\} \\ \hline \{6\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{5,1\} & 5 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \{4,2\} & 9 & 3 & 0 & 1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ \{4,1,1\} & 10 & 2 & 1 & -2 & 0 & -1 & 0 & -2 & 0 & 1 & 1 \\ \{3,3\} & 5 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & -3 & -1 & 2 & 0 \\ \{3,2,1\} & 16 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 0 \\ \{3,1,1,1\} & 10 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & -1 \\ \{2,2,2\} & 5 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 0 & 3 & -1 & 2 & 0 \\ \{2,2,1,1\} & 9 & -3 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ \{2,1,1,1,1\} & 5 & -3 & 2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ \{1,1,1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}

\(S_7\)

지표 테이블

\begin{array}{c|ccccccccccccccc} & \{1^7\} & \{1^52^1\} & \{1^43^1\} & \{1^32^2\} & \{1^34^1\} & \{1^22^13^1\} & \{1^25^1\} & \{1^12^3\} & \{1^12^14^1\} & \{1^13^2\} & \{1^16^1\} & \{2^23^1\} & \{2^15^1\} & \{3^14^1\} & \{7^1\} \\ \hline \{7\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \{6,1\} & 6 & 4 & 3 & 2 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \{5,2\} & 14 & 6 & 2 & 2 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 & -1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ \{5,1,1\} & 15 & 5 & 3 & -1 & 1 & -1 & 0 & -3 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 1 \\ \{4,3\} & 14 & 4 & -1 & 2 & -2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ \{4,2,1\} & 35 & 5 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ \{4,1,1,1\} & 20 & 0 & 2 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ \{3,3,1\} & 21 & 1 & -3 & 1 & -1 & 1 & 1 & -3 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ \{3,2,2\} & 21 & -1 & -3 & 1 & 1 & -1 & 1 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ \{3,2,1,1\} & 35 & -5 & -1 & -1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ \{3,1,1,1,1\} & 15 & -5 & 3 & -1 & -1 & 1 & 0 & 3 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 1 \\ \{2,2,2,1\} & 14 & -4 & -1 & 2 & 2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ \{2,2,1,1,1\} & 14 & -6 & 2 & 2 & 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -1 & 1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ \{2,1,1,1,1,1\} & 6 & -4 & 3 & 2 & -2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & -1 \\ \{1,1,1,1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}

메모

Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

수학용어번역

공액류, conjugacy class
지표, character - 대한수학회 수학용어집
켤레변형, 공액연산자, conjugacy - 대한수학회 수학용어집
류, class - 대한수학회 수학용어집

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYUZOWFFBZl9IMWM/edit
매스매티카 파일 목록
http://mathoverflow.net/questions/96705/computer-package-for-representation-theory-of-the-symmetric-group
Stein, P.R., and C. Zemach. 1993. “Symmetric Function Algebra on a Computer.” Advances in Applied Mathematics 14 (4) (December): 430–454. doi:10.1006/aama.1993.1022.
http://mathoverflow.net/questions/162478/character-table-of-s-7

리뷰논문, 에세이, 강의노트

http://mathematicalgemstones.wordpress.com/2012/05/21/characters-of-the-symmetric-group/

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
 * [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]을 이용하여, [[대칭군 (symmetric group)]]의 지표를 계산하는 방법
-* $S_m$의 기약표현은 크기가 m인 영 다이어그램(또는 m의 분할)과 일대일대응된다
+* 대칭군 <math>S_m</math>의 기약표현은 크기가 m인 영 다이어그램(또는 m의 분할)과 일대일대응된다
-* m의 분할 $\lambda$에 대응되는 $S_m$의 기약표현의 지표를 <math>\chi_{\lambda}</math> 로 나타내자
+* m의 분할 <math>\lambda</math>에 대응되는 <math>S_m</math>의 기약표현의 지표를 <math>\chi_{\lambda}</math> 로 나타내자
-* <math>C_{\mathbf{i}}=(1^{i_1},2^{i_2},\cdots,m^{i_m})</math>를 <math>i_1+2i_2+\cdots mi_m=m</math>를 만족시키는 대칭군 $S_m$의 공액류라 하면, $\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})$ 프로베니우스 공식으로 얻을 수 있다
+* <math>C_{\mathbf{i}}=(1^{i_1},2^{i_2},\cdots,m^{i_m})</math>를 <math>i_1+2i_2+\cdots mi_m=m</math>를 만족시키는 대칭군 <math>S_m</math>의 공액류라 하면, <math>\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})</math>의 값은 다음 프로베니우스 공식으로 주어진다
-:<math>\left(\sum_{l=1}^{m} x_l\right)^{i_1}\left(\sum_{l=1}^{m} x_l^2\right)^{i_2}\cdots \left(\sum_{l=1}^{m} x_l^m\right)^{i_m}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}</math><br> 여기서 <math>S_{\lambda}</math> 는 [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]<br>
+:<math>\left(\sum_{l=1}^{m} x_l\right)^{i_1}\left(\sum_{l=1}^{m} x_l^2\right)^{i_2}\cdots \left(\sum_{l=1}^{m} x_l^m\right)^{i_m}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}(x_1,\cdots, x_m)</math>
+여기서 <math>S_{\lambda}</math> 는 [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]
 * 다음과 같이 표현하기도 한다
-:<math>\prod_{j}P_{j}(x)^{i_j}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}(x)</math>
+:<math>\prod_{j=1}^{m}P_{j}(x)^{i_j}=\sum_{\lambda}\chi_{\lambda}(C_{\mathbf{i}})S_{\lambda}(x_1,\cdots, x_m)</math>
+==예==
+===<math>S_3</math>===
-==$S_3$의 예==
-* 대칭군 <math>S_3</math> 의 character table
+* 대칭군 <math>S_3</math> 의 지표 테이블
 \begin{array}{c|ccc}
-   & \{1^3,2^0,3^0\} & \{1^1,2^1,3^0\} & \{1^0,2^0,3^1\} \\
+   & \{1^3\} & \{1^1,2^1\} & \{3^1\} \\
 \hline
   \{3\} & 1 & 1 & 1 \\
@@ 23번째 줄: / 20번째 줄: @@
   \{1,1,1\} & 1 & -1 & 1
 \end{array}
+* 슈르 다항식
+:<math>
+\begin{align}
+S_{(3)} & = &x_1 x_2 x_3+\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-2 \left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\right) \\
+S_{(2,1)} & =&\left(x_1+x_2\right) \left(x_1+x_3\right) \left(x_2+x_3\right) \\
+S_{(1,1,1)} &= &x_1 x_2 x_3
+\end{align}
+</math>
+* 슈르 다항식과 거듭제곱의 합 (power sum) 대칭다항식
+:<math>
+\begin{align}
+\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3&=S_{(3)}+2\cdot S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}\\
+\left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)& = S_{(3)}+0\cdot S_{(2,1)}-S_{(1,1,1)}\\
+x_1^3+x_2^3+x_3^3&=S_{(3)}-1\cdot S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}
+\end{align}
+</math>
-<math>S_{(3)}=x_1 x_2 x_3+\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-2 \left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\right)</math>
+===<math>S_4</math>===
+* 지표 테이블
-<math>S_{(2,1)}=\left(x_1+x_2\right) \left(x_1+x_3\right) \left(x_2+x_3\right)</math>
-<math>S_{(1,1,1)}=x_1 x_2 x_3</math>
-<math>S_{(3)}+2S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}=\left(x_1+x_2+x_3\right){}^3</math>
-<math>S_{(3)}+0\cdot S_{(2,1)}-S_{(1,1,1)}=\left(x_1+x_2+x_3\right) \left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)</math>
-<math>S_{(3)}-1S_{(2,1)}+S_{(1,1,1)}=x_1^3+x_2^3+x_3^3</math>
-==$S_4$의 예==
-* character table
 \begin{array}{c|ccccc}
-   & \{1^4,2^0,3^0,4^0\} & \{1^2,2^1,3^0,4^0\} & \{1^1,2^0,3^1,4^0\} & \{1^0,2^2,3^0,4^0\} & \{1^0,2^0,3^0,4^1\} \\
+   & \{1^4\} & \{1^2,2^1\} & \{1^1,3^1\} & \{2^2\} & \{4^1\} \\
 \hline
   \{4\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
@@ 53번째 줄: / 51번째 줄: @@
-==$S_5$의 예==
+===<math>S_5</math>===
-* 테이블
+* 지표 테이블
 \begin{array}{c|ccccccc}
-   & \{1^5,2^0,3^0,4^0,5^0\} & \{1^3,2^1,3^0,4^0,5^0\} & \{1^2,2^0,3^1,4^0,5^0\} & \{1^1,2^2,3^0,4^0,5^0\} & \{1^1,2^0,3^0,4^1,5^0\} & \{1^0,2^1,3^1,4^0,5^0\} & \{1^0,2^0,3^0,4^0,5^1\} \\
+   & \{1^5\} & \{1^3,2^1\} & \{1^2,3^1\} & \{1^1,2^2\} & \{1^1,4^1\} & \{2^1,3^1\} & \{5^1\} \\
 \hline
   \{5\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
@@ 67번째 줄: / 65번째 줄: @@
 \end{array}
+===<math>S_6</math>===
-==$S_6$의 예==
 * 지표 테이블
 \begin{array}{c|ccccccccccc}
-   & \{1^6,2^0,3^0,4^0,5^0,6^0\} & \{1^4,2^1,3^0,4^0,5^0,6^0\} & \{1^3,2^0,3^1,4^0,5^0,6^0\} & \{1^2,2^2,3^0,4^0,5^0,6^0\} & \{1^2,2^0,3^0,4^1,5^0,6^0\} & \{1^1,2^1,3^1,4^0,5^0,6^0\} & \{1^1,2^0,3^0,4^0,5^1,6^0\} & \{1^0,2^3,3^0,4^0,5^0,6^0\} & \{1^0,2^1,3^0,4^1,5^0,6^0\} & \{1^0,2^0,3^2,4^0,5^0,6^0\} & \{1^0,2^0,3^0,4^0,5^0,6^1\} \\
+   & \{1^6\} & \{1^4,2^1\} & \{1^3,3^1\} & \{1^2,2^2\} & \{1^2,4^1\} & \{1^1,2^1,3^1\} & \{1^1,5^1\} & \{2^3\} & \{2^1,4^1\} & \{3^2\} & \{6^1\} \\
 \hline
   \{6\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
@@ 86번째 줄: / 83번째 줄: @@
 \end{array}
+===<math>S_7</math>===
-==$S_7$의 예==
 * 지표 테이블
 \begin{array}{c|ccccccccccccccc}
-   & \{1^7,2^0,3^0,4^0,5^0,6^0,7^0\} & \{1^5,2^1,3^0,4^0,5^0,6^0,7^0\} & \{1^4,2^0,3^1,4^0,5^0,6^0,7^0\} & \{1^3,2^2,3^0,4^0,5^0,6^0,7^0\} & \{1^3,2^0,3^0,4^1,5^0,6^0,7^0\} & \{1^2,2^1,3^1,4^0,5^0,6^0,7^0\} & \{1^2,2^0,3^0,4^0,5^1,6^0,7^0\} & \{1^1,2^3,3^0,4^0,5^0,6^0,7^0\} & \{1^1,2^1,3^0,4^1,5^0,6^0,7^0\} & \{1^1,2^0,3^2,4^0,5^0,6^0,7^0\} & \{1^1,2^0,3^0,4^0,5^0,6^1,7^0\} & \{1^0,2^2,3^1,4^0,5^0,6^0,7^0\} & \{1^0,2^1,3^0,4^0,5^1,6^0,7^0\} & \{1^0,2^0,3^1,4^1,5^0,6^0,7^0\} & \{1^0,2^0,3^0,4^0,5^0,6^0,7^1\} \\
+   & \{1^7\} & \{1^52^1\} & \{1^43^1\} & \{1^32^2\} & \{1^34^1\} & \{1^22^13^1\} & \{1^25^1\} & \{1^12^3\} & \{1^12^14^1\} & \{1^13^2\} & \{1^16^1\} & \{2^23^1\} & \{2^15^1\} & \{3^14^1\} & \{7^1\} \\
 \hline
   \{7\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
@@ 108번째 줄: / 104번째 줄: @@
   \{1,1,1,1,1,1,1\} & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1
 \end{array}
-==역사==
-* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 ==메모==
@@ 128번째 줄: / 111번째 줄: @@
 ==관련된 항목들==
@@ 137번째 줄: / 120번째 줄: @@
 ==수학용어번역==
@@ 150번째 줄: / 133번째 줄: @@
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYUZOWFFBZl9IMWM/edit
-*
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* http://functions.wolfram.com/
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
-* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 * [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
+* http://mathoverflow.net/questions/96705/computer-package-for-representation-theory-of-the-symmetric-group
+* Stein, P.R., and C. Zemach. 1993. “Symmetric Function Algebra on a Computer.” Advances in Applied Mathematics 14 (4) (December): 430–454. doi:10.1006/aama.1993.1022.
+* http://mathoverflow.net/questions/162478/character-table-of-s-7
-==사전 형태의 자료==
+==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
+* http://mathematicalgemstones.wordpress.com/2012/05/21/characters-of-the-symmetric-group/
-* http://ko.wikipedia.org/wiki/
+==관련논문==
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
+* Rosa Orellana, Mike Zabrocki, Symmetric group characters as symmetric functions, arXiv:1605.06672 [math.CO], May 21 2016, http://arxiv.org/abs/1605.06672
-* [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Main_Page Encyclopaedia of Mathematics]
+* Orellana, Rosa, and Mike Zabrocki. “Symmetric Group Characters as Symmetric Functions.” arXiv:1510.00438 [math], October 1, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00438.
-* [http://dlmf.nist.gov NIST Digital Library of Mathematical Functions]
+* Regev, Alon, Amitai Regev, and Doron Zeilberger. “Identities in Character Tables of <math>S_n</math>.” arXiv:1507.03499 [math], July 13, 2015. http://arxiv.org/abs/1507.03499.
-* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
-==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
-* http://mathematicalgemstones.wordpress.com/2012/05/21/characters-of-the-symmetric-group/
-[[분류:테이블]]
+[[분류:목록]]
+[[분류:대칭다항식]]