"로저스 다이로그 함수 (Rogers dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

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*  다양한 [[함수 다이로그 항등식(functional dilogarithm identity)]]  을 만족시킴<br>
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* <math>x\in (0,1)</math>에서 로저스 다이로그 함수를 다음과 같이 정의<br><math>L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}dy</math><br>
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* <math>x\in (0,1)</math>에서 로저스 다이로그 함수를 다음과 같이 정의
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* <math>(-\infty,0],[1,+\infty)</math>를 제외한 복소평면으로 해석적확장됨<br>
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:<math>L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\left(\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}\right)dy</math>
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* <math>dL(x)=\frac{1}{2}[\log(y)d\log (1-y)-\log(1-y)d\log (y)]</math><br>
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* <math>(-\infty,0],[1,+\infty)</math>를 제외한 복소평면으로 해석적확장됨
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==함수의 그래프==
 
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*  함수 방정식을 이용한 확장<br>
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==반사공식(오일러)==
 
==반사공식(오일러)==
  
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* <math>0\leq x \leq 1</math> 일 때<br><math>L(x)+L(1-x)=L(1)</math><br>
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==5항 관계식==
 
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* <math>0\leq x,y\leq 1</math> 일 때, <br><math>L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\left( \frac{1-x}{1-xy}\right)=\frac{\pi^2}{2}</math><br>
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* <math>0\leq x,y\leq 1</math> 일 때, :<math>L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\left( \frac{1-x}{1-xy}\right)=\frac{\pi^2}{2}</math>
  
  
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<math>L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}</math>
 
<math>L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}</math>
  
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* non-unitary <math>c(2,k+2)</math> minimal models
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:<math>\sum_{i=1}^{[k/2]}L\left(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}}\right)=\frac{k-1}{k+2}\cdot \frac{\pi^2}{6}</math>
  
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모</h5>
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==메모==
  
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==관련된 항목들==
  
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* [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수와 항등식]]<br>
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* [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수와 항등식]]
  
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<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZGMwYzhkZjItMmY5Ny00NDI4LTgxYjktN2E2NDlkNmNjMjAz&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZGMwYzhkZjItMmY5Ny00NDI4LTgxYjktN2E2NDlkNmNjMjAz&sort=name&layout=list&num=50
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* http://functions.wolfram.com/
 
* http://functions.wolfram.com/
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
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* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
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* [[매스매티카 파일 목록]]
 
* [[매스매티카 파일 목록]]
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
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==사전 형태의 자료==
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
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==관련논문==
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* Tomoki Nakanishi, Rogers dilogarithms of higher degree and generalized cluster algebras, arXiv:1605.04777 [math.QA], May 16 2016, http://arxiv.org/abs/1605.04777
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* [http://dx.doi.org/10.1143/PTPS.118.61 Dilogarithm identities]<br>
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* Hartnick, Tobias, and Andreas Ott. “Perturbations of the Spence-Abel Equation and Deformations of the Dilogarithm Function.” arXiv:1601.07109 [math], January 26, 2016. http://arxiv.org/abs/1601.07109.
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** Anatol N. Kirillov,Prog.Theor.Phys.Suppl.118:61-142, 1995
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* [http://dx.doi.org/10.1023/A:1009709927327 Algebraic Dilogarithm Identities]
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* [http://dx.doi.org/10.1007/BF01840426 Identities for the Rogers dilogarithm function connected with simple Lie algebras]<br>
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** Basil Gordon  and Richard J. Mcintosh, 1997
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* [http://dx.doi.org/10.1143/PTPS.118.61 Dilogarithm identities]
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** Anatol N. Kirillov,Prog.Theor.Phys.Suppl.118:61-142, 1995
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* [http://dx.doi.org/10.1007/BF01840426 Identities for the Rogers dilogarithm function connected with simple Lie algebras]
 
** A. N. Kirillov, 1989
 
** A. N. Kirillov, 1989
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
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* http://dx.doi.org/10.1023/A:1009709927327
 
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5>
 
  
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==관련도서==
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*  Harold Scott Macdonald Coxeter [http://books.google.com/books?id=beTjmcibCH8C The beauty of geometry: twelve essays]<br>
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*  Harold Scott Macdonald Coxeter [http://books.google.com/books?id=beTjmcibCH8C The beauty of geometry: twelve essays]
 
** chapter 1
 
** chapter 1
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[[분류:다이로그]]
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[[분류:특수함수]]

2016년 5월 18일 (수) 00:14 기준 최신판

개요


정의

  • \(x\in (0,1)\)에서 로저스 다이로그 함수를 다음과 같이 정의

\[L(x)=\operatorname{Li}_ 2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\left(\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(y)}{1-y}\right)dy\]

  • \((-\infty,0],[1,+\infty)\)를 제외한 복소평면으로 해석적확장됨
  • \(dL(y)=\frac{1}{2}[\log(y)d\log (1-y)-\log(1-y)d\log (y)]\)


함수의 그래프

  • \(x\in (0,1)\) 에서의 그래프

로저스 다이로그 함수 (Roger s dilogarithm)1.gif

  • 함수 방정식을 이용한 확장

로저스 다이로그 함수 (Roger s dilogarithm)2.gif

반사공식(오일러)

  • \(0\leq x \leq 1\) 일 때\[L(x)+L(1-x)=L(1)\]



5항 관계식

  • \(0\leq x,y\leq 1\) 일 때, \[L(x)+L(1-xy)+L(y)+L(\frac{1-y}{1-xy})+L\left( \frac{1-x}{1-xy}\right)=\frac{\pi^2}{2}\]


special values

\(L(0)=0\)

\(L(1)=\frac{\pi^2}{6}\)

\(L(-1)=-\frac{\pi^2}{12}\)

\(L(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}\)

\(L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}\)

\(L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}\)

  • non-unitary \(c(2,k+2)\) minimal models

\[\sum_{i=1}^{[k/2]}L\left(\frac{\sin^2\frac{\pi}{k+2}}{\sin^2\frac{(i+1)\pi}{k+2}}\right)=\frac{k-1}{k+2}\cdot \frac{\pi^2}{6}\]


역사



메모

관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스




사전 형태의 자료



관련논문

관련도서

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