"린데만-바이어슈트라스 정리"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로)
 
(같은 사용자의 중간 판 10개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+
==개요==
  
−
* [[린데만-바이어슈트라스 정리]]
+
  
−
 
 
  
−
 
+
  
−
 
+
==린데만-바이어슈트라스 정리==
  
−
==개요</h5>
+
서로 다른 대수적수  <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">린데만-바이어슈트라스 정리</h5>
 
−
 
 
−
서로 다른 대수적수  <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.
 
  
 
또는
 
또는
  
−
대수적 수 <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 가 유리수체 위에서 선형독립이면, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 <math>\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})</math>의 transcendence degree가 n이다.
+
대수적 수 <math>\alpha_1,\cdots,\alpha_n</math> 가 유리수체 위에서 선형독립이면, <math>e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}</math> 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 <math>\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})</math>의 transcendence degree가 n이다.
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">지수함수와 초월수</h5>
+
==지수함수와 초월수==
  
−
0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. 
+
0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다.  
  
 
(증명)
 
(증명)
  
−
 <math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math>  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서<math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. ■
+
<math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math> 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서<math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. ■
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">지수함수의 실수부와 허수부</h5>
+
==지수함수의 실수부와 허수부==
  
−
실수가 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\operatorname{Re}e^{\alpha}</math>와 <math>\operatorname{Im}e^{\alpha}</math>는 초월수이다.
+
실수가 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\operatorname{Re}e^{\alpha}</math>와 <math>\operatorname{Im}e^{\alpha}</math>는 초월수이다.
  
 
(증명)
 
(증명)
  
−
<math>\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta</math>가 대수적수라고 가정하자. <math>\beta</math>가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다. 
+
<math>\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta</math>가 대수적수라고 가정하자. <math>\beta</math>가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다.  
  
−
<math>\alpha=a+bi</math> 라 하면, <math>2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}</math>이다.
+
<math>\alpha=a+bi</math> 라 하면, <math>2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}</math>이다.
  
 
<math>e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0</math>
 
<math>e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0</math>
  
−
이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다.  ■
+
이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다. ■
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">로그함수의 경우</h5>
+
==로그함수의 경우==
  
 
지수함수의 경우로부터 다음을 얻는다.
 
지수함수의 경우로부터 다음을 얻는다.
  
−
0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\log \alpha</math> 는 초월수이다.
+
0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\log \alpha</math> 는 초월수이다.
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">삼각함수의 경우</h5>
+
==삼각함수의 경우==
  
−
0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\sin {\alpha}</math>는 초월수이다.
+
0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\sin {\alpha}</math>는 초월수이다.
  
 
(증명)
 
(증명)
 +
<math>\{i\alpha,0 -i\alpha\}</math> 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여
 +
:<math>\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}</math>
 +
는 초월수이다.  (증명끝)
  
−
<math>\{i\alpha},0 {-i\alpha}\}</math> 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여
+
마찬가지로 0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\cos \alpha</math>는 초월수이다.  ■
  
−
<math>\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}</math>
+
  
−
는 초월수이다.  (증명끝)
+
0이 아닌 대수적수  <math>\alpha</math>에 대하여 <math>\tan \alpha</math>는 초월수이다.
−
 
 
−
마찬가지로 0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>\cos \alpha</math>는 초월수이다.  ■
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
0이 아닌 대수적수  <math>\alpha</math>에 대하여 <math>\tan \alpha</math>는 초월수이다.
 
  
 
(증명)
 
(증명)
  
−
<math>\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}</math>
+
<math>\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}</math>가 대수적수라고 가정하자.
  
−
가 대수적수라고 가정하자.
+
<math>\beta i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})= e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}</math>
  
−
<math>\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}</math>
+
<math>(1-i\beta){e^{i\alpha}-(1+i\beta)e^{-i\alpha}}=0</math>
−
 
 
−
<math>\beta{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}= e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}</math>
 
  
−
<math>(1-i\beta){e^{i\alpha}-(1+i\beta)e^{-i\alpha}}=0</math>
+
이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 모순.  ■
  
−
이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 모순.  ■
+
  
−
 
+
  
−
 
+
==<math>\pi</math> 는 초월수이다==
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"><math>\pi</math> 는 초월수이다</h5>
+
* [[파이 π는 초월수이다|파이는 초월수이다]] 항목 참조
  
−
* [[파이 π는 초월수이다|파이는 초월수이다]] 항목 참조<br>
+
  
−
 
+
  
−
 
+
==역사==
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">역사</h5>
+
* [[수학사 연표]]
  
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]<br>
 
  
−
<br>
 
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 다른 주제들</h5>
+
==관련된 다른 주제들==
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">사전형태의 자료</h5>
+
==사전형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
141번째 줄: 121번째 줄:
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_independence
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_independence
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
 
  
−
*  도서내검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련링크 및 웹페이지</h5>
+
==관련링크 및 웹페이지==
  
−
* [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/main785.html Transcendental number theory]<br>
+
* [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/main785.html Transcendental number theory]
−
** Michael Filaseta, Lecture notes
+
** Michael Filaseta, Lecture notes
 
** [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes7.pdf Lindemann's Theorem]
 
** [http://www.math.sc.edu/%7Efilaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes7.pdf Lindemann's Theorem]
 +
[[분류:무리수와 초월수]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1572474 Q1572474]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'lindemann'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
 +
* [{'LOWER': 'hermite'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'lindemann'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
 +
* [{'LOWER': 'hermite'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'lindemann'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'theorem'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:42 기준 최신판

개요

린데만-바이어슈트라스 정리

서로 다른 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

또는

대수적 수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 가 유리수체 위에서 선형독립이면, \(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}\) 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 \(\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})\)의 transcendence degree가 n이다.




지수함수와 초월수

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다.

(증명) 

\(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\)  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서\(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. ■



지수함수의 실수부와 허수부

실수가 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\operatorname{Re}e^{\alpha}\)와 \(\operatorname{Im}e^{\alpha}\)는 초월수이다.

(증명)

\(\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta\)가 대수적수라고 가정하자. \(\beta\)가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다.

\(\alpha=a+bi\) 라 하면, \(2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}\)이다.

\(e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0\)

이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다. ■




로그함수의 경우

지수함수의 경우로부터 다음을 얻는다.

0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\log \alpha\) 는 초월수이다.



삼각함수의 경우

0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\sin {\alpha}\)는 초월수이다.

(증명) \(\{i\alpha,0 -i\alpha\}\) 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여 \[\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\] 는 초월수이다. (증명끝)

마찬가지로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(\cos \alpha\)는 초월수이다. ■


0이 아닌 대수적수 \(\alpha\)에 대하여 \(\tan \alpha\)는 초월수이다.

(증명)

\(\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}\)가 대수적수라고 가정하자.

\(\beta i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})= e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}\)

\((1-i\beta){e^{i\alpha}-(1+i\beta)e^{-i\alpha}}=0\)

이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 모순. ■



\(\pi\) 는 초월수이다



역사


관련된 다른 주제들

사전형태의 자료






관련링크 및 웹페이지

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'lindemann'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
  • [{'LOWER': 'hermite'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'lindemann'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
  • [{'LOWER': 'hermite'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'lindemann'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'weierstrass'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=린데만-바이어슈트라스_정리&oldid=52277"