"분할의 rank와 crank"의 두 판 사이의 차이
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5> |
* [[라마누잔(1887- 1920)]]의 [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]에 대한 발견<br><math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math><br><math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math><br><math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math><br> | * [[라마누잔(1887- 1920)]]의 [[자연수의 분할수(integer partitions)|분할수]]에 대한 발견<br><math>p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5</math><br><math>p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7</math><br><math>p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}</math><br> | ||
| − | * 이를 | + | * 이를 통계적인 분포로 자연스럽게 설명하기 위하여 분할의 rank와 crank의 개념이 도입 |
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| + | * 각 분할에 대하여 rank를 구해보면 다음과 같이 분포되어 있다<br> | ||
| + | ** 8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8 | ||
| + | * 이에 mod 5를 취하면,<br> | ||
| + | ** 3, 1, 0, 4, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 0, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 4, 2 | ||
| + | * 0,1,2,3,4 각각의 잉여류에 모두 6개씩의 분할이 들어있음을 알 수 있다. | ||
| + | * crank에 대해서도 마찬가지 분포를 얻을 수 있다 | ||
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* [http://dx.doi.org/10.1073/pnas.0507844102 Ramanujan's congruences and Dyson's crank]<br> | * [http://dx.doi.org/10.1073/pnas.0507844102 Ramanujan's congruences and Dyson's crank]<br> | ||
** George E. Andrews and Ken Ono, PNAS October 25, 2005 vol. 102 no. 43 15277 | ** George E. Andrews and Ken Ono, PNAS October 25, 2005 vol. 102 no. 43 15277 | ||
| − | * <br> | + | * [http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183554533 Dyson's crank of a partition]<br> |
| − | ** | + | ** George E. Andrews and F. G. Garvan, Source: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 18, Number 2 (1988), 167-171 |
* Some guesses in the theory of partitions<br> | * Some guesses in the theory of partitions<br> | ||
** Dyson, F., Eureka (Cambridge) 8, 10–15 (1944) | ** Dyson, F., Eureka (Cambridge) 8, 10–15 (1944) | ||
2011년 1월 29일 (토) 09:30 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 라마누잔(1887- 1920)의 분할수에 대한 발견
\(p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5\)
\(p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7\)
\(p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\) - 이를 통계적인 분포로 자연스럽게 설명하기 위하여 분할의 rank와 crank의 개념이 도입
- 프리먼 다이슨과 그 후속 연구로 발전
9의 분할의 경우
- 9의 분할에는 30개가 있다
- 각 분할에 대하여 rank를 구해보면 다음과 같이 분포되어 있다
- 8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8
- 이에 mod 5를 취하면,
- 3, 1, 0, 4, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 0, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 4, 2
- 0,1,2,3,4 각각의 잉여류에 모두 6개씩의 분할이 들어있음을 알 수 있다.
- crank에 대해서도 마찬가지 분포를 얻을 수 있다
rank와 crank
- 분할의 rank = 분할에서 가장 큰 수 - 분할의 크기
- 예
- 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, rank=7-3=4
- 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, rank=4-4=0
- 분할의 crank
- 분할에서 가장 큰 수 (1이 포함되지 않는 분할의 경우)
- 분할에서 "1의개수"보다 큰 수 - 1의 개수 (1이 포함되는 경우)
- 예
- 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, crank=1-2=-1
- 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, crank=2-2=0
- 9의 분할수 = 30
- 분할
{{9}, {8, 1}, {7, 2}, {7, 1, 1}, {6, 3}, {6, 2, 1}, {6, 1, 1, 1}, {5, 4}, {5, 3, 1}, {5, 2, 2}, {5, 2, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1}, {4, 4, 1}, {4, 3, 2}, {4, 3, 1, 1}, {4, 2, 2, 1}, {4, 2, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3}, {3, 3, 2, 1}, {3, 3, 1, 1, 1}, {3, 2, 2, 2}, {3, 2, 2, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1}, {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 1}, {2, 2, 2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}} - rank
{8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8}
이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다 - crank
{9,0,7,-1,6,1,-2,5,1,5,-1,-3,1,4,0,2,-2,-5,3,2,-3,3,-1,-4,-6,3,-3,-5,-7,-9}
이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
- 분할
- 자연수의 분할(partition)과 rank 목록
crank
- vector partition
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- The f(q) mock theta function conjecture and partition ranks
- Kathrin Bringmann and Ken Ono, Inventiones Mathematicae Volume 165, Number 2, 2006
- Ramanujan's congruences and Dyson's crank
- George E. Andrews and Ken Ono, PNAS October 25, 2005 vol. 102 no. 43 15277
- Dyson's crank of a partition
- George E. Andrews and F. G. Garvan, Source: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 18, Number 2 (1988), 167-171
- Some guesses in the theory of partitions
- Dyson, F., Eureka (Cambridge) 8, 10–15 (1944)
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
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