분할의 rank와 crank

개요

\[p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5\]\[p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7\]\[p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}\]

9의 분할에는 30개가 있다
각 분할에 대하여 rank를 구해보면 다음과 같이 분포되어 있다
- 8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8
이에 mod 5를 취하면,
- 3, 1, 0, 4, 4, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 0, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 1, 0, 4, 2
0,1,2,3,4 각각의 잉여류에 모두 6개씩의 분할이 들어있음을 알 수 있다.
crank에 대해서도 마찬가지 분포를 얻을 수 있다

분할의 rank = 분할에서 가장 큰 수 - 분할의 크기
예
- 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, rank=7-3=4
- 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, rank=4-4=0
분할의 crank
- 분할에서 가장 큰 수 (1이 포함되지 않는 분할의 경우)
- 분할에서 "1의개수"보다 큰 수 - 1의 개수 (1이 포함되는 경우)
예
- 9의 분할인 {7,1,1}의 경우, crank=1-2=-1
- 9의 분할인 {4,3,1,1}의 경우, crank=2-2=0
9의 분할수 = 30
- 분할 {{9}, {8, 1}, {7, 2}, {7, 1, 1}, {6, 3}, {6, 2, 1}, {6, 1, 1, 1}, {5, 4}, {5, 3, 1}, {5, 2, 2}, {5, 2, 1, 1}, {5, 1, 1, 1, 1}, {4, 4, 1}, {4, 3, 2}, {4, 3, 1, 1}, {4, 2, 2, 1}, {4, 2, 1, 1, 1}, {4, 1, 1, 1, 1, 1}, {3, 3, 3}, {3, 3, 2, 1}, {3, 3, 1, 1, 1}, {3, 2, 2, 2}, {3, 2, 2, 1, 1}, {3, 2, 1, 1, 1, 1}, {3, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 2, 2, 2, 1}, {2, 2, 2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}}
- rank {8,6,5,4,4,3,2,3,2,2,1,0,1,1,0,0,-1,-2,0,-1,-2,-1,-2,-3,-4,-3,-4,-5,-6,-8} 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
- crank {9,0,7,-1,6,1,-2,5,1,5,-1,-3,1,4,0,2,-2,-5,3,2,-3,3,-1,-4,-6,3,-3,-5,-7,-9} 이 집합을 mod 5로 고려하면, 각원소가 6개씩있다
자연수의 분할(partition)과 rank 목록