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| − | * 라그랑지안 <math>\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi</math> 에 대하여 [[오일러-라그랑지 방정식]] | + | * 라그랑지안 <math>\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi</math> 에 대하여 [[오일러-라그랑지 방정식]]:<math>\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0</math> 을 적용하여 얻어진다<br> |
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==Bäcklund 변환== | ==Bäcklund 변환== | ||
| − | * 함수 u가 사인-고든 방정식 <math>u_{\xi\eta}=\sin u</math>의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자 | + | * 함수 u가 사인-고든 방정식 <math>u_{\xi\eta}=\sin u</math>의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자:<math>\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\ v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!</math><br> |
* 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다 | * 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다 | ||
| − | * 해 u=0 에 이 변환을 적용하면, <math>v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)</math> 를 얻을 수 있다 | + | * 해 u=0 에 이 변환을 적용하면, <math>v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)</math> 를 얻을 수 있다:<math>a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}</math> 로 두면, <math>4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br> |
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* <math>u(x,t)=f(x-vt)</math> 라 두자. | * <math>u(x,t)=f(x-vt)</math> 라 두자. | ||
* u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 <math>v^2f''-f''+\sin f=0</math> 를 만족시켜야 한다. | * u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 <math>v^2f''-f''+\sin f=0</math> 를 만족시켜야 한다. | ||
| − | * 적분하면 다음을 얻는다. | + | * 적분하면 다음을 얻는다.:<math>\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a</math><br> |
| − | * <math>z\to \infty</math> 일 때, <math> f (z)\to 0</math> 와 <math>f'(z) \to 0</math> 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다 | + | * <math>z\to \infty</math> 일 때, <math> f (z)\to 0</math> 와 <math>f'(z) \to 0</math> 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다:<math>(f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)</math><br> |
| − | * 이 상미분방정식의 해는 | + | * 이 상미분방정식의 해는:<math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br> |
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==솔리톤 해의 예== | ==솔리톤 해의 예== | ||
| − | * kink (soliton) | + | * kink (soliton):<math>u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br> |
| − | * antikink (anti-soliton) | + | * antikink (anti-soliton):<math>u(x,t)=4\arctan [\exp -[\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]</math><br> |
| − | * kink-kink collison '''[PS1962]''' | + | * kink-kink collison '''[PS1962]''':<math>u(x,t)=4\arctan [\frac{v\sinh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}{\cosh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}]</math><br> |
| − | * kink-antikink (particle-antiparticle) collison '''[PS1962]''' | + | * kink-antikink (particle-antiparticle) collison '''[PS1962]''':<math>u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]</math><br> |
| − | * Breather = coupled kink-antikink | + | * Breather = coupled kink-antikink:<math>4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)</math>:<math>\omega=1/{\sqrt{2}}</math> 인 경우:<math>4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)</math><br> |
2013년 1월 12일 (토) 09:47 판
개요
- 다음 미분방정식을 사인-고든 방정식이라 함 \[u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0 \label{sgeqn}\]
- 양자장론에 등장하는 클라인-고든 방정식에서 이름이 붙음\[(\Box + m^2) \psi =\psi_{tt}-\psi_{xx}+m^2\psi=0\]
- 다음과 같은 솔리톤 해들을 가짐
- kink, antikink
- kink-kink
- kink-antikink
- breather
오일러-라그랑지 방정식
- 라그랑지안 \(\mathcal{L}_\text{SG}(\psi) = \frac{1}{2}(\psi_t^2 - \psi_x^2) -1 + \cos\psi\) 에 대하여 오일러-라그랑지 방정식\[\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0\] 을 적용하여 얻어진다
빛원뿔(light cone) 좌표계
- 변수 \(\xi=\frac{t+x}{2}\), \(\eta=\frac{-t+x}{2}\) 를 도입하면, 사인-고든 방정식 \ref{sgeqn}은 \[u_{\xi\eta}=\sin u \label{sglcone}\] 로 쓰여진다
- 미분방정식 \ref{sglcone}은 19세기 상수곡률곡면 에 대한 연구에서도 등장한다
Bäcklund 변환
- 함수 u가 사인-고든 방정식 \(u_{\xi\eta}=\sin u\)의 해라 하고, 다른 함수 v와 임의의 수 a 에 대하여 다음 방정식이 성립한다고 하자\[\begin{align}v_{\xi} & = u_{\xi} + 2a \sin \Bigl( \frac{u+v}{2} \Bigr) \\ v_{\eta} & = -u_{\eta} + \frac{2}{a} \sin \Bigl( \frac{v-u}{2} \Bigr)\end{align} \,\!\]
- 함수 v도 사인-고든 방정식의 해가 된다
- 해 u=0 에 이 변환을 적용하면, \(v(\xi ,\eta )=4 \arctan\left(\exp \left(\frac{\eta }{a}+a \xi \right)\right)\) 를 얻을 수 있다\[a=\frac{\sqrt{1-v}}{\sqrt{1+v}}\] 로 두면, \(4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\)
traveling wave solution
- \(u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0\)
- \(u(x,t)=f(x-vt)\) 라 두자.
- u 가 사인-고든 방정식의 해가 되려면, f 는 \(v^2f''-f''+\sin f=0\) 를 만족시켜야 한다.
- 적분하면 다음을 얻는다.\[\frac{1}{2}(c^2-1)(f')^2-\cos f=a\]
- \(z\to \infty\) 일 때, \( f (z)\to 0\) 와 \(f'(z) \to 0\) 인 조건을 만족한다면, a=-1이 된다. 이 경우 다음 미분방정식을 풀면 된다\[(f')^2=\frac{4}{1-v^2}\sin^2(f/2)\]
- 이 상미분방정식의 해는\[u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\]
솔리톤 해의 예
- kink (soliton)\[u(x,t)=4\arctan [\exp [\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\]
- antikink (anti-soliton)\[u(x,t)=4\arctan [\exp -[\frac{x - v t}{\sqrt{1 - v^2}}]]\]
- kink-kink collison [PS1962]\[u(x,t)=4\arctan [\frac{v\sinh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}{\cosh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}]\]
- kink-antikink (particle-antiparticle) collison [PS1962]\[u(x,t)=4\arctan [\frac{\sinh \frac{vt}{\sqrt{1-v^2}}}{v\cosh \frac{x}{\sqrt{1-v^2}}}]\]
- Breather = coupled kink-antikink\[4 \arctan \left(\frac{\sqrt{1-\omega ^2} \sin (t \omega )}{\omega \cosh \left(x \sqrt{1-\omega ^2}\right)}\right)\]\[\omega=1/{\sqrt{2}}\] 인 경우\[4 \arctan \left(\sin \left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) \text{sech}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)\]
히로타 bilinear method
\(u(x,t)=4\arctan [\frac{F(x)}{G(t)}]\)
역사
메모
- Pendulum Lattice ,Youtube
- Visualizing Solitons ,Youtube
- φtt-φxx+sinφ≠Humantt-Humanxx+sin(Human) ,Youtube
- soliton-Test3 ,Youtube
- http://gravityandlevity.wordpress.com/2009/06/11/visualizing-solitary-waves/
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMDk4NzY3ZTMtZmEwNS00NTAxLTllOTAtMDFhMDNkNjNmOTdk&sort=name&layout=list&num=50
- http://demonstrations.wolfram.com/SystemOfPendulumsARealizationOfTheSineGordonModel/
- http://physics.ucsc.edu/~peter/250/mathematica/
- The Sine Gordon Equation
- 매스매티카 파일 목록
수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/사인-고든
- http://en.wikipedia.org/wiki/Sine–Gordon_equation
- http://en.wikipedia.org/wiki/Bäcklund_transform
- Sine-Gordon equation, Springer, L.A. Takhtadzhyan
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- SOLITONS in the SINE-GORDON Equation Nonlinear Science
- Notes on The Sine Gordon Equation David Gablinger, 2007
관련논문
- Classical and quantum kink scattering http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(93)90243-I
- Hirota, Ryogo. 1977. “Nonlinear Partial Difference Equations III; Discrete Sine-Gordon Equation”. Journal of the Physical Society of Japan 43: 2079-2086. doi:10.1143/JPSJ.43.2079
- Hirota, Ryogo. 1972. “Exact Solution of the Sine-Gordon Equation for Multiple Collisions of Solitons”. Journal of the Physical Society of Japan 33: 1459-1463. doi:10.1143/JPSJ.33.1459
- [PS1962]A model unified field equation J. K. Perring and T. H. R. Skyrme, Nuclear Physics Volume 31, March-April 1962, Pages 550-555