"순환군"의 두 판 사이의 차이

2009년 4월 17일 (금) 04:24 판

(정리) 순환군의 모든 부분군은 순환군이다.

(증명)

H 가 G의 부분군이라고 하자. a는 G의 생성원이라고 하자.

G의 원소는 \(\cdots, a^{-1},a^{-1},a^{0}, a^1,a^2,\cdots\)

따라서 각각의 원소에 이 지수를 정의할 수 있다. (\(\log_a g\) 로 생각할 수 있음)

항등원을 제외한 H의 원소중에서 이 지수의 값이 양수이며, 가장 작은 원소가 존재한다. 이 값을 \(d\) 로 두자.

H의 원소 \(a^k\) 에 대하여, \(k=dq+r, 0\leq r < d\) 를 사용하면, \(a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r\) 형태로 쓸 수 있다.

H는 부분군이므로, \(a^r=(a^d)^{-q}a^k\) 는 H의 원소이다. \(d\)의 정의에 따라, \(r\) 은 0이어야 한다.

그러므로, 모든 H의 원소는 \(a^d\) 로 생성가능하다. □

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 <h5>순환군의 부분군</h5>
+(정리) 순환군의 모든 부분군은 순환군이다.
-* 순환군의 모든 부분군은 순환군임.
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 따라서 각각의 원소에 이 지수를 정의할 수 있다. (<math>\log_a g</math> 로 생각할 수 있음)
-항등원을 제외한 H의 원소중에서 이 지수의 값이 가장 작은 원소가 존재한다. 이 값을 <math>d</math> 로 두자.
+항등원을 제외한 H의 원소중에서 이 지수의 값이 양수이며, 가장 작은 원소가 존재한다. 이 값을 <math>d</math> 로 두자.
+H의 원소 <math>a^k</math> 에 대하여,  <math>k=dq+r, 0\leq r < d</math> 를 사용하면, <math>a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r</math> 형태로 쓸 수 있다.
+H는 부분군이므로,  <math>a^r=(a^d)^{-q}a^k</math> 는 H의 원소이다. <math>d</math>의 정의에 따라, <math>r</math> 은 0이어야 한다.
-<math>k=dq+r, 0\leq r < d</math>
+그러므로, 모든 H의 원소는 <math>a^d</math> 로 생성가능하다. □
-H의 원소 <math>a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r</math>