"앤드류스-고든 항등식(Andrews-Gordon identity)"의 두 판 사이의 차이
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">항등식</h5> | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">항등식</h5> | ||
| − | * 자연수 <math>k\geq 2</math> , <math>1\leq i \leq k</math>에 대하여, 다음이 성립한다<br><math>\sum_{n_1,\cdots,n_{k-1}\geq0}\frac{x^{N_1^2+\cdots+N_{k-1}^2+N_i+\cdots+N_{k-1}}}{(x)_{n_1}...(x)_{n_{k-1}}}=\prod_{r\neq 0,\pm i \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-x^r} </math><br> | + | * 자연수 <math>k\geq 2</math> , <math>1\leq i \leq k</math>에 대하여, 다음이 성립한다<br><math>\sum_{n_1,\cdots,n_{k-1}\geq0}\frac{x^{N_1^2+\cdots+N_{k-1}^2+N_i+\cdots+N_{k-1}}}{(x)_{n_1}...(x)_{n_{k-1}}}=\prod_{r\neq 0,\pm i \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-x^r} </math><br> 여기서 <math>j\leq k-1</math>이면 <math>N_j=n_j+\cdots+n_{k-1}</math> , <math>j=k</math>이면 <math>N_j=0</math><br> |
* 여러 문헌에서 다음과 같이 표현되기도 한다<br><math>\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_{k-1}\geq0}\frac{q^{n_1^2+\cdots+n_{k-1}^2+n_i+\cdots+n_{k-1}}}{(q)_{n_{1}-n_{2}}\cdots (q)_{n_{k-2}-n_{k-1}}(q)_{n_{k-1}}}=\prod_{n\neq 0,\pm i\pmod {2k+1}}(1-q^n)^{-1}</math><br> | * 여러 문헌에서 다음과 같이 표현되기도 한다<br><math>\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_{k-1}\geq0}\frac{q^{n_1^2+\cdots+n_{k-1}^2+n_i+\cdots+n_{k-1}}}{(q)_{n_{1}-n_{2}}\cdots (q)_{n_{k-2}-n_{k-1}}(q)_{n_{k-1}}}=\prod_{n\neq 0,\pm i\pmod {2k+1}}(1-q^n)^{-1}</math><br> | ||
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<h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">k=3인 경우</h5> | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">k=3인 경우</h5> | ||
| − | * i=1인 경우<br><math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty}</math><br> | + | * i=1인 경우<br><math>\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{x^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}+n_1+2n_2}}{(x)_{n_1}(x)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 1 \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-x^r} </math><br><math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty}</math><br> |
2010년 11월 27일 (토) 00:00 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 로저스-라마누잔 연분수와 항등식의 일반화
항등식
- 자연수 \(k\geq 2\) , \(1\leq i \leq k\)에 대하여, 다음이 성립한다
\(\sum_{n_1,\cdots,n_{k-1}\geq0}\frac{x^{N_1^2+\cdots+N_{k-1}^2+N_i+\cdots+N_{k-1}}}{(x)_{n_1}...(x)_{n_{k-1}}}=\prod_{r\neq 0,\pm i \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-x^r} \)
여기서 \(j\leq k-1\)이면 \(N_j=n_j+\cdots+n_{k-1}\) , \(j=k\)이면 \(N_j=0\) - 여러 문헌에서 다음과 같이 표현되기도 한다
\(\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_{k-1}\geq0}\frac{q^{n_1^2+\cdots+n_{k-1}^2+n_i+\cdots+n_{k-1}}}{(q)_{n_{1}-n_{2}}\cdots (q)_{n_{k-2}-n_{k-1}}(q)_{n_{k-1}}}=\prod_{n\neq 0,\pm i\pmod {2k+1}}(1-q^n)^{-1}\)
로저스-라마누잔 항등식
- k=2인 경우, 로저스-라마누잔 연분수와 항등식을 얻는다
- i=1인 경우
\(H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\) - i=2인 경우
\(G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\)
k=3인 경우
- i=1인 경우
\(\sum_{n_1,n_{2}\geq0}\frac{x^{n_{1}^2+2n_1n_2+2n_{2}^{2}+n_1+2n_2}}{(x)_{n_1}(x)_{n_{2}}}=\prod_{r\neq 0,\pm 1 \pmod {2k+1}}\frac{1}{1-x^r} \)
\(\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty}\)
얻어지는 이차형식
\(n_{1}^{2}\)
\((n_{1}+n_{2})^{2}+n_{2}^{2}\)
\((n_{1}+n_{2}+n_{3})^{2}+(n_{2}+n_{3})^{2}+n_{3}^{2}\)
\((n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{2}+n_{3}+n_{4})^{2}+(n_{3}+n_{4})^{2}+n_{4}^{2}\)
행렬은
\(\text{A=}\left( \begin{array}{ccccc} 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 6 & 6 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 8 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \end{array} \right)\)
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.proofwiki.org/wiki/
- http://mathworld.wolfram.com/Andrews-GordonIdentity.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- The Rogers–Selberg recursions, the Gordon–Andrews identities and intertwining operators
- Stefano Capparelli, James Lepowsky, Antun Milas, 2004
- Some formulas related to dilogarithms, the zeta function and the Andrews–Gordon identities
- B. Richmond and G. Szekeres, 1981
- A general theory of identities of the Rogers-Ramanujan type
- George E. Andrews, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 80, Number 6 (1974), 1033-1052.
- On the General Rogers-Ramanujan Theorem.
- Andrews, G. E. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1974.
- Andrews, G. E. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1974.
- An Analytic Generalization of the Rogers-Ramanujan Identities for Odd Moduli
- George E. Andrews, PNAS October 1, 1974 vol. 71 no. 10 4082-4085
- George E. Andrews, PNAS October 1, 1974 vol. 71 no. 10 4082-4085
- A Combinatorial Generalization of the Rogers-Ramanujan Identities
- Gordon, B. Amer. J. Math. 83, 393-399, 1961.
- Gordon, B. Amer. J. Math. 83, 393-399, 1961.
관련도서
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관련기사
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