"5차방정식의 근의 공식과 아벨의 증명"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
  
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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* 5차방정식의 근의 방정식이 존재하지 않음에 대한 [[닐스 헨릭 아벨(1802 – 1829)|아벨(1802 – 1829)]]의 증명(에 가까운 증명)
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* 이 증명은 학부에서 배우는 표준적인 증명과는 성격이 약간 다르다
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">증명의 개요</h5>
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*  증명은 크게 세 부분으로 구성<br>
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**  5차 방정식의 해를 거듭제곱근기호를 써서 표현하는 경우, 근의 공식가 갖는 일반적인 형태<br>
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**  거듭제곱근의 기호를 써서 표현할 때 등장하는 수를 방정식의 해의 유리함수로 표현할 수 있다는 사실의 증명<br>
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**  위의 두 사실 사이의 긴장을 이용하여 모순을 이끌어내는 부분<br>
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br><math>x^3 + px + q = 0</math><br><math>x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math><br>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">근의 공식이 갖는 일반적인 형태의 이해</h5>
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*  위 [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]] 을 다른 형태로 표현해 보자<br><math>A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}</math>, <math>B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>A^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}</math>, <math>1/A^3=\frac{27}{p^3}\cdot (\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})</math><br><math>AB=\sqrt[3]{-\frac{p^3}{27}}=-\frac{p}{3}</math><br><math>B=-\frac{p}{3A}=-\frac{pA^2}{3A^3}=-\frac{9(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})}{p^2}A^2</math><br> 따라서,<br><math>x_1=A+B=A-\frac{9(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})}{p^2}A^2</math><br>
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*  거듭제곱근 체확장의 개념을 도입하는 것이 유용하다<br>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">5차방정식 근의 공식의 불가능성 증명</h5>
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'''정리 0.'''
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소수 p 에 대하여 <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>R=F(\sqrt[p]a)</math> 이 있다고 하자. 
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원소 <math>v\in R-F</math> 에 대하여, 다음이 성립한다.
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(1) <math>\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F</math>이 존재하여, 
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(2) <math>v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 형태로 표현가능하다.
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(증명)
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<math>u_0,u_1, u_2,u_3, \cdots, u_{p-1} \in F</math>가 존재하여 <math>v=u_0+u_1{\sqrt[p]a}+u_2{\sqrt[p]a^2}+u_3{\sqrt[p]a^3}++\cdots+u_{p-1}{\sqrt[p]a^{p-1}}</math>로 쓸 수 있다. 
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<math>u_i\sqrt[p]a^i\neq 0 </math> 인 i가 적어도 하나 존재한다. <math>\sqrt[p]\rho=u_i\sqrt[p]a^i</math>, 즉 <math>\rho=u_i^p a^i</math> 로 두면 된다.  ■
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'''정리 1.'''
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소수 p 에 대하여 <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>R=F(\sqrt[p]a)</math> 이 있다고 하자. 
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원소 <math>v\in R-F</math> 가 F의 계수를 가지는 방정식의 해라고 하고, '''정리 0'''에 따라 <math>v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math>로 꼴로 쓸 수 있다. 
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그러면, 이 방정식의 p개의 해 <math>v=\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} </math>는 모두 R의 원소이며, <math>\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F</math> 는 모두 <math>\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} </math>의 유리함수 표현으로 쓸 수 있다. 
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(증명)
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생략. ■
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예)
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 <math>\alpha_1=v_0+u+v_2u^2</math>
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 <math>\alpha_2=v_0+\zeta u+v_2\zeta^2u^2</math>
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 <math>\alpha_3=v_0+\zeta^2 u+v_2\zeta u^2</math>
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<math>v_0=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)</math>
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<math>u=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)</math>
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이제 5차방정식 <math>x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0</math>의 해를 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 라 하자.  복소수체에 방정식의 계수들을 넣어 만들어진 체 <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>를 정의하자. 
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'''정리 2. '''
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이 5차방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 
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(1) <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>의 적당한 거듭제곱근 체확장 <math>R</math>과 적당한 소수 p, 원소 <math>\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F</math>이 존재하여,
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(2)  <math>v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 형태로 표현가능하다.
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(증명)
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'''정리 0'''을 반복해서 사용. ■
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<br> 예)
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* [[2차 방정식의 근의 공식]]<br><math>ax^2+bx+c=0</math><br><math>x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>,  <math>x_2=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math><br>  <br>
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br><math>x^3 + px + q = 0</math><br><math>x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}</math><br><math>x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} </math><br>
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'''정리 3.''' (theorem of natural irrationalities)
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<math>v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho</math> 는 방정식의 해 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 의 유리함수로 표현할 수 있다.
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예)
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* [[2차 방정식의 근의 공식]]<br><math>ax^2+bx+c=0</math> 의 해를 <math>x_1,x_2</math>라 하면, <math>\sqrt{b^2-4ac}=x_1-x_2</math> 이다. <br>
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* [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]]<br>
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(증명)
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체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 
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높이가 1이면, '''정리0'''에 의하여, 적당한 소수 l에 대하여 <math>R=F(\sqrt[l]a)</math>의 형태로 쓸 수 있다. 정리 1을 적용하면, a는 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math>의 유리함수로 표현가능하며, 따라서 모든  <math>R=F(\sqrt[l]a)</math>의 원소를 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math>의 유리함수로 표현할 수 있다. <math>v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho</math>는 모두 R의 원소이므로, 마찬가지로  <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math>의 유리함수로 쓸 수 있다. 
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이제 체확장의 높이가 2이상이면 , <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>R_1</math> 이 존재하여, 적당한 소수 l에 대하여 <math>R=R_1(\sqrt[l]u)</math> 의 형태로 쓸 수 있다. 
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귀납법의 가정에 의하여, 체확장 <math>R_1</math>의 모든 원소들은 방정식의 해 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 의 유리함수로 표현가능하다. 
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이제  <math>R=R_1(\sqrt[l]u)</math>에 '''정리 1'''을 적용하면,  u는 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math>의 유리함수로 표현가능하며 따라서 R의 모든 원소는  <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 의 유리함수로 쓸 수 있다. ■
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'''정리 4.'''
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<math>n\geq 5</math> 라 하자. 체 <math>\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)</math>의 원소 <math>u,a</math>가 <math>u^p= a</math> 를 만족시킨다고 하자. a가 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이면. u도 역시  <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다.
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(증명)
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<math>\chi</math> 를 u에 의해 정의되는 character 라 하자.
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<math>\sigma(u)=\chi(\sigma)u</math>
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<math>\tau(u)=\chi(\tau)u</math>
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<math>\tau\sigma=(12453)</math>
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<math>\tau\sigma^2=(14532)</math>
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이므로 <math>\chi(\sigma)=1</math>, <math>\chi(\tau)=1</math>이다.  ■
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노트. 여기가 <math>n\geq 5</math> 조건이 필요한 부분이다.
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'''정리 5.'''
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<math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math> 인  F의 거듭제곱근 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. 
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(증명)
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체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 
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높이가 1이면, 정리0에 의하여,  <math>R=F(\sqrt[p]a)</math>의 형태로 쓸 수 있다. 여기에 정리 3을 적용하면, 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변임을 알 수 있다.
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이제 체확장의 높이가 2이상이면 , <math>F</math>의 거듭제곱근 체확장 <math>R_1</math> 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여  <math>R=R_1(\sqrt[p]u)</math> 의 형태로 쓸 수 있다. 귀납법의 가정에 의하여, 체확장 <math>R_1</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다.  <math>R=R_1(\sqrt[p]u)</math>에 '''정리 4'''을 적용하면, 체확장 <math>R</math>은 <math>\sigma=(123)</math>, <math>\tau=(345)</math>에 의해 불변이다. ■
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'''정리 6.''' (5차방정식의 근의 공식의 불가능성)
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(증명)
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일반적인 5차방정식 <math>x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0</math>의 근의 공식이 존재한다고 하고, 다섯 해를 <math>x_1,x_2,\cdots,x_5</math> 라 하자.
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'''정리 2'''에 의하여, <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)</math>의 적당한 거듭제곱근 체확장 <math>R</math>과  원소 <math>v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho</math>이 존재하여,  <math>x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 의 꼴로 쓸 수 있다.
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'''정리 3'''에 의하여, <math>F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)</math> 를 가정할 수 있다. 
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'''정리 5'''에 의하여, 거듭제곱근 체확장 <math>R</math>과  원소 <math>v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R</math> 는 모두 <math>\sigma,\tau</math>에 의해 불변이다. 정리 5를 한번 더 적용하면, <math>\sqrt[p]\rho</math> 도 역시  <math>\sigma,\tau</math>에 의하여 불변이다.
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따라서  <math>x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}</math> 의 우변은 <math>\sigma</math>에 의하여 불변이다. 그러나 <math>x_1</math>은  <math>\sigma</math>에 의하여 불변일 수 없으므로 모순이다.  ■
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">맴돌이(monodromy)</h5>
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*   <math>3w^5-25w^3+60w-z=0</math>.<br>
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* <math>z=\pm 38</math> and <math>z=\pm 16</math> 에서 w는 중근을 가진다<br>
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*  리만곡면의 branch point<br>
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<h5>재미있는 사실</h5>
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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<h5>역사</h5>
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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*  
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<h5>메모</h5>
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<h5>관련된 항목들</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 +
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 +
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
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<h5>관련논문</h5>
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://www.ams.org/mathscinet
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* http://dx.doi.org/
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<h5>관련도서</h5>
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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*  도서검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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<h5>관련기사</h5>
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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<h5>블로그</h5>
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*  구글 블로그 검색<br>
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** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 +
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
 +
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
 +
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
 +
* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]

2010년 2월 18일 (목) 15:45 판

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개요
  • 5차방정식의 근의 방정식이 존재하지 않음에 대한 아벨(1802 – 1829)의 증명(에 가까운 증명)
  • 이 증명은 학부에서 배우는 표준적인 증명과는 성격이 약간 다르다

 

 

증명의 개요
  • 증명은 크게 세 부분으로 구성
    • 5차 방정식의 해를 거듭제곱근기호를 써서 표현하는 경우, 근의 공식가 갖는 일반적인 형태
    • 거듭제곱근의 기호를 써서 표현할 때 등장하는 수를 방정식의 해의 유리함수로 표현할 수 있다는 사실의 증명
    • 위의 두 사실 사이의 긴장을 이용하여 모순을 이끌어내는 부분

 

 

 

  • 3차, 4차 방정식의 근의 공식
    \(x^3 + px + q = 0\)
    \(x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
    \(x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
    \(x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)

 

 

 

근의 공식이 갖는 일반적인 형태의 이해
  • 위 3차, 4차 방정식의 근의 공식 을 다른 형태로 표현해 보자
    \(A=\sqrt[3]{-{q\over 2}+ \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}\), \(B=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
    \(A^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\), \(1/A^3=\frac{27}{p^3}\cdot (\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})\)
    \(AB=\sqrt[3]{-\frac{p^3}{27}}=-\frac{p}{3}\)
    \(B=-\frac{p}{3A}=-\frac{pA^2}{3A^3}=-\frac{9(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})}{p^2}A^2\)
    따라서,
    \(x_1=A+B=A-\frac{9(\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}})}{p^2}A^2\)
  • 거듭제곱근 체확장의 개념을 도입하는 것이 유용하다

 

 

 

5차방정식 근의 공식의 불가능성 증명

정리 0.

소수 p 에 대하여 \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R=F(\sqrt[p]a)\) 이 있다고 하자. 

원소 \(v\in R-F\) 에 대하여, 다음이 성립한다.

(1) \(\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\)이 존재하여, 

(2) \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 형태로 표현가능하다.

 

(증명)

\(u_0,u_1, u_2,u_3, \cdots, u_{p-1} \in F\)가 존재하여 \(v=u_0+u_1{\sqrt[p]a}+u_2{\sqrt[p]a^2}+u_3{\sqrt[p]a^3}++\cdots+u_{p-1}{\sqrt[p]a^{p-1}}\)로 쓸 수 있다. 

\(u_i\sqrt[p]a^i\neq 0 \) 인 i가 적어도 하나 존재한다. \(\sqrt[p]\rho=u_i\sqrt[p]a^i\), 즉 \(\rho=u_i^p a^i\) 로 두면 된다.  ■

 

 

 

정리 1.

소수 p 에 대하여 \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R=F(\sqrt[p]a)\) 이 있다고 하자. 

원소 \(v\in R-F\) 가 F의 계수를 가지는 방정식의 해라고 하고, 정리 0에 따라 \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\)로 꼴로 쓸 수 있다. 

그러면, 이 방정식의 p개의 해 \(v=\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} \)는 모두 R의 원소이며, \(\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\) 는 모두 \(\alpha_1, \alpha_2,\alpha_3, \cdots, \alpha_{p} \)의 유리함수 표현으로 쓸 수 있다. 

 

 

(증명)

생략. ■

 

예)

 \(\alpha_1=v_0+u+v_2u^2\)

 \(\alpha_2=v_0+\zeta u+v_2\zeta^2u^2\)

 \(\alpha_3=v_0+\zeta^2 u+v_2\zeta u^2\)

 

\(v_0=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)\)

\(u=\frac{1}{3}(\alpha_1+\zeta^2\alpha_2+\zeta \alpha_3)\)

 

이제 5차방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)의 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.  복소수체에 방정식의 계수들을 넣어 만들어진 체 \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)를 정의하자. 

 

정리 2. 

이 5차방정식의 한 해 v를 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 있다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다. 

(1) \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 거듭제곱근 체확장 \(R\)과 적당한 소수 p, 원소 \(\rho, v_0,v_1=1, v_2,v_3, \cdots, v_{p-1} \in F\)이 존재하여,

(2)  \(v=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 형태로 표현가능하다.

 

 

(증명)

정리 0을 반복해서 사용. ■

 


예)

  • 2차 방정식의 근의 공식
    \(ax^2+bx+c=0\)
    \(x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\),  \(x_2=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
     
  • 3차, 4차 방정식의 근의 공식
    \(x^3 + px + q = 0\)
    \(x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
    \(x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}\)
    \(x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}} \)

 

 

정리 3. (theorem of natural irrationalities)

\(v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho\) 는 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현할 수 있다.

 

 

예)

 

 

(증명)

체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 

높이가 1이면, 정리0에 의하여, 적당한 소수 l에 대하여 \(R=F(\sqrt[l]a)\)의 형태로 쓸 수 있다. 정리 1을 적용하면, a는 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 표현가능하며, 따라서 모든  \(R=F(\sqrt[l]a)\)의 원소를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 표현할 수 있다. \(v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho\)는 모두 R의 원소이므로, 마찬가지로  \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 쓸 수 있다. 

이제 체확장의 높이가 2이상이면 , \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R_1\) 이 존재하여, 적당한 소수 l에 대하여 \(R=R_1(\sqrt[l]u)\) 의 형태로 쓸 수 있다. 

귀납법의 가정에 의하여, 체확장 \(R_1\)의 모든 원소들은 방정식의 해 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 표현가능하다. 

이제  \(R=R_1(\sqrt[l]u)\)에 정리 1을 적용하면,  u는 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\)의 유리함수로 표현가능하며 따라서 R의 모든 원소는  \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 의 유리함수로 쓸 수 있다. ■

 

 

정리 4.

\(n\geq 5\) 라 하자. 체 \(\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_n)\)의 원소 \(u,a\)가 \(u^p= a\) 를 만족시킨다고 하자. a가 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이면. u도 역시  \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다.

 

(증명)

\(\chi\) 를 u에 의해 정의되는 character 라 하자.

\(\sigma(u)=\chi(\sigma)u\)

\(\tau(u)=\chi(\tau)u\)

 

\(\tau\sigma=(12453)\)

\(\tau\sigma^2=(14532)\)

이므로 \(\chi(\sigma)=1\), \(\chi(\tau)=1\)이다.  ■

 

노트. 여기가 \(n\geq 5\) 조건이 필요한 부분이다.

 

 

정리 5.

\(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 인  F의 거듭제곱근 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. 

 

(증명)

체확장의 높이에 따른 귀납법을 사용하자. 

높이가 1이면, 정리0에 의하여,  \(R=F(\sqrt[p]a)\)의 형태로 쓸 수 있다. 여기에 정리 3을 적용하면, 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변임을 알 수 있다.

이제 체확장의 높이가 2이상이면 , \(F\)의 거듭제곱근 체확장 \(R_1\) 이 존재하여, 적당한 소수 p 에 대하여  \(R=R_1(\sqrt[p]u)\) 의 형태로 쓸 수 있다. 귀납법의 가정에 의하여, 체확장 \(R_1\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다.  \(R=R_1(\sqrt[p]u)\)에 정리 4을 적용하면, 체확장 \(R\)은 \(\sigma=(123)\), \(\tau=(345)\)에 의해 불변이다. ■

 

정리 6. (5차방정식의 근의 공식의 불가능성)

 

(증명)

일반적인 5차방정식 \(x^5 - s_{1} x^{4} + s_{2} x^{3} -s_{3}x^{2}+s_{4} x - s_5= 0\)의 근의 공식이 존재한다고 하고, 다섯 해를 \(x_1,x_2,\cdots,x_5\) 라 하자.

정리 2에 의하여, \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5)\)의 적당한 거듭제곱근 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,\cdots, v_{p-1},\rho\)이 존재하여,  \(x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 의 꼴로 쓸 수 있다.

정리 3에 의하여, \(F=\mathbb{C}(s_1,s_2,\cdots,s_5) \subset R \subset K=\mathbb{C}(x_1,x_2\cdots,x_5)\) 를 가정할 수 있다. 

정리 5에 의하여, 거듭제곱근 체확장 \(R\)과  원소 \(v_0,v_2,v_3,v_4,\rho \in R\) 는 모두 \(\sigma,\tau\)에 의해 불변이다. 정리 5를 한번 더 적용하면, \(\sqrt[p]\rho\) 도 역시  \(\sigma,\tau\)에 의하여 불변이다.

따라서  \(x_1=v_0+{\sqrt[p]\rho}+v_2{\sqrt[p]\rho^2}+v_3{\sqrt[p]\rho^3}++\cdots+v_{p-1}{\sqrt[p]\rho^{p-1}}\) 의 우변은 \(\sigma\)에 의하여 불변이다. 그러나 \(x_1\)은  \(\sigma\)에 의하여 불변일 수 없으므로 모순이다.  ■

 

 

맴돌이(monodromy)
  •  \(3w^5-25w^3+60w-z=0\).
  • \(z=\pm 38\) and \(z=\pm 16\) 에서 w는 중근을 가진다
  • 리만곡면의 branch point

 

 

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