"원주율과 적분"의 두 판 사이의 차이

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<math>ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx</math>
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* 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자.
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* 대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자.
  
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<math>\frac{1}{2}\int _Cds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\left(\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right)^2} \, dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx</math>
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이제 단위원의 둘레의 길이를 미적분학을 통해 표현해보자.
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단위원 C의 둘레의 길이를 적분으로 표현하기 위해 원의 방정식 <math>x^2+y^2=1</math>을 이용하자.  <math>y=\sqrt{1-x^2}</math>를 이용하면, C의 둘레의 길이의 절반은
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<math>\frac{1}{2}\int _Cds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\left(\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right)^2} \, dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx</math> 로 표현된다.
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원주율은 <math>\pi =2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx</math> 로 정의된다.
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<math>\int_0^1 \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=0</math>
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2011년 4월 12일 (화) 18:41 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 삼각함수에 대해 알고 있는 모든 사실을 잊기로 하자.
  • 대수적함수에 대한 미적분학의 기술은 안다고 가정하자.

 

 

단위원의 둘레의 길이와 적분

이제 단위원의 둘레의 길이를 미적분학을 통해 표현해보자.

단위원 C의 둘레의 길이를 적분으로 표현하기 위해 원의 방정식 \(x^2+y^2=1\)을 이용하자.  \(y=\sqrt{1-x^2}\)를 이용하면, C의 둘레의 길이의 절반은

\(\frac{1}{2}\int _Cds=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\left(\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right)^2} \, dx=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 로 표현된다.

원주율은 \(\pi =2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\) 로 정의된다.

 

 

 

단위원의 면적과 적분

\(\int \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=x \sqrt{1-x^2}+C\)

\(\int_0^1 \left(2 \sqrt{1-x^2}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) \, dx=0\)

\(4\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx=2\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx\)

 

 

 

대수적 함수와 아벨적분

  • 사인/아크사인함수 덧셈정리의 적분표현
    \(\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y\\)
    \(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin (x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\)
    \(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx = \int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx \)

 

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