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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;"> | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">개요</h5> |
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| + | * 자코비는 [[자코비 세타함수|세타함수]] 를 이용하여 주어진 자연수가 네 개의 제곱수의 합으로 얼마나 많은 방법으로 표현가능한지의 문제를 해결<br><math>\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}</math>, <math>q=e^{2\pi i \tau}</math><br> | ||
* <math>x=e^{\pi i \tau}</math> 로 두면,<br><math>\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}</math><br><math>\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n</math><br> 여기서 <math>r_4(n)</math> 는 <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n</math>의 정수해 <math>(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>의 개수, 즉 자연수 <math>n</math>을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수<br> | * <math>x=e^{\pi i \tau}</math> 로 두면,<br><math>\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}</math><br><math>\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n</math><br> 여기서 <math>r_4(n)</math> 는 <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n</math>의 정수해 <math>(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>의 개수, 즉 자연수 <math>n</math>을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수<br> | ||
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* <math>r_4(4)=24</math><br><math>(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2=(\pm2)^2+0^2+0^2+0^2=4</math><br> ... 으로부터<br><math>16+2 \times {4\choose 1}=24</math><br> | * <math>r_4(4)=24</math><br><math>(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2=(\pm2)^2+0^2+0^2+0^2=4</math><br> ... 으로부터<br><math>16+2 \times {4\choose 1}=24</math><br> | ||
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| + | * [[자연수의 약수의 합]]<br> | ||
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2009년 11월 28일 (토) 17:11 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 라그랑지의 네 제곱수 정리는 모든 자연수는 네 개의 제곱수의 합으로 표현가능함을 말해준다
- 자코비는 세타함수 를 이용하여 주어진 자연수가 네 개의 제곱수의 합으로 얼마나 많은 방법으로 표현가능한지의 문제를 해결
\(\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\) - \(x=e^{\pi i \tau}\) 로 두면,
\(\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2}=1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2}\)
\(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\)
여기서 \(r_4(n)\) 는 \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=n\)의 정수해 \((x_1,x_2,x_3,x_4)\)의 개수, 즉 자연수 \(n\)을 네 정수의 제곱의 합으로 쓰는 방법의 수
정리
(정리) 자코비의 네제곱수 정리
\(r_4(n)=8\sum_{m|n,4\nmid m}m\)
예
- \(r_4(1)=8\)
\((\pm1)^2+0^2+0^2+0^2=1\)이므로
\(2\times {4\choose 1}=8\) - \(r_4(2)=24\)
\((\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2+0^2=2\)
... 으로부터
\(4\times {4\choose 2}=24\) - \(r_4(3)=32\)
\((\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+0^2=3\)
... 으로부터
\(8\times {4\choose 1}=32\)
- \(r_4(4)=24\)
\((\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2=(\pm2)^2+0^2+0^2+0^2=4\)
... 으로부터
\(16+2 \times {4\choose 1}=24\)
증명
\(\theta^4(x)=(\sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2})^4=(1+2\sum_{n=1}^\infty x^{n^2})^4=1+\sum_{n=1}^\infty r_4(n)x^n\)
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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