"합동수 문제 (congruent number problem)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
| 25번째 줄: | 25번째 줄: | ||
<math>\iff</math> 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 의 rank가 1이상이다. | <math>\iff</math> 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 의 rank가 1이상이다. | ||
| − | (증명 | + | (증명) |
| − | + | 직각삼각형의 세 변의 길이가 <math>a,b,c</math>로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 <math>n</math> 이라 하자. | |
| − | |||
| − | |||
<math>a^2 + b^2 &=& c^2\\ \frac{ab}{2} &=& n</math> | <math>a^2 + b^2 &=& c^2\\ \frac{ab}{2} &=& n</math> | ||
| 41번째 줄: | 39번째 줄: | ||
디오판투스 방정식 <math>u^4-n^2=v^2</math> 가 유리해를 가짐을 알 수 있다. | 디오판투스 방정식 <math>u^4-n^2=v^2</math> 가 유리해를 가짐을 알 수 있다. | ||
| − | <math>u^4-n^2=v^2</math>에서 <math>u^6-n^2u^2=u^2v^2</math> 를 얻은 뒤, <math>x=u^2</math>, <math>y=uv</math> 로 두면, | + | <math>u^4-n^2=v^2</math>에서 <math>u^6-n^2u^2=u^2v^2</math> 를 얻은 뒤, <math>x=u^2</math>, <math>y=uv</math> 로 두면, 타원곡선의 방정식 <math>y^2=x^3-n^2x</math>을 얻는다. |
| − | |||
| − | <math>y^2=x^3-n^2x</math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | 따라서 세 변의 길이가 <math>a,b,c</math>이고 그 넓이가 <math>n</math>인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 유리해를 얻는다. | |
| − | + | 그러면 역으로 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까? | |
<math>y\neq0</math>인 유리수해 <math>(x,y)</math> 에 대하여 | <math>y\neq0</math>인 유리수해 <math>(x,y)</math> 에 대하여 | ||
| 58번째 줄: | 49번째 줄: | ||
<math>a=|\frac{n^2-x^2}{y}|</math>, <math>b=|\frac{2nx}{y}|</math>, <math>c=|\frac{n^2+x^2}{y}|</math> | <math>a=|\frac{n^2-x^2}{y}|</math>, <math>b=|\frac{2nx}{y}|</math>, <math>c=|\frac{n^2+x^2}{y}|</math> | ||
| − | 로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다. | + | 로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다. |
| − | + | 한편 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math>의 torsion은 <math>\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}</math> 뿐이므로, <math>y\neq0</math>인 유리수해 <math>(x,y)</math> 의 존재는 타원곡선 <math>y^2=x^3-n^2x</math> 의 rank가 1이상이라는 사실과 동치이다. ■ | |
| 102번째 줄: | 93번째 줄: | ||
* 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84 ...<br> | * 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84 ...<br> | ||
| − | * http://www.research.att.com/~njas/sequences/ | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A003273 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273] 참조<br> |
| 108번째 줄: | 99번째 줄: | ||
| − | <h5> | + | <h5>메모</h5> |
| + | |||
| + | * http://modular.math.washington.edu/edu/2007/spring/ent/ent-html/node92.html | ||
2011년 11월 11일 (금) 11:08 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 자연수 중에서 세변이 모두 유리수 길이를 갖는 직각삼각형의 넓이로 나타날 수 있는 수를 congruent number라 함
- 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상인 경우를 찾는 문제와 같다
- 주어진 n이 congruent number 인지를 판정하는 방법이 있으나, Birch and Swinnerton-Dyer 추측에 의존하고 있다 [Tunnell1983]
타원곡선과의 관계
(정리)
자연수 \(n\) 은 congruent number 이다 \(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 이 \(y\neq0\)인 유리해를 갖는다.
\(\iff\) 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상이다.
(증명)
직각삼각형의 세 변의 길이가 \(a,b,c\)로 주어졌다고 가정하고 그 넓이가 \(n\) 이라 하자.
\(a^2 + b^2 &=& c^2\\ \frac{ab}{2} &=& n\)
다음 방정식이 만족됨을 알 수 있다.
\((\frac{a^2-b^2}{4})^2=(\frac{c}{2})^4-n^2\)
\(u=\frac{c}{2}\), \(v=\frac{a^2-b^2}{4}\) 로 두자.
디오판투스 방정식 \(u^4-n^2=v^2\) 가 유리해를 가짐을 알 수 있다.
\(u^4-n^2=v^2\)에서 \(u^6-n^2u^2=u^2v^2\) 를 얻은 뒤, \(x=u^2\), \(y=uv\) 로 두면, 타원곡선의 방정식 \(y^2=x^3-n^2x\)을 얻는다.
따라서 세 변의 길이가 \(a,b,c\)이고 그 넓이가 \(n\)인 직각삼각형이 있으면, 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해를 얻는다.
그러면 역으로 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 유리해가 있을때, 이러한 조건을 만족시키는 직각삼각형을 찾을 수 있을까?
\(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 에 대하여
\(a=|\frac{n^2-x^2}{y}|\), \(b=|\frac{2nx}{y}|\), \(c=|\frac{n^2+x^2}{y}|\)
로 두면 각 변이 유리수 길이를 갖는 직각삼각형을 얻을 수 있다.
한편 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\)의 torsion은 \(\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}\) 뿐이므로, \(y\neq0\)인 유리수해 \((x,y)\) 의 존재는 타원곡선 \(y^2=x^3-n^2x\) 의 rank가 1이상이라는 사실과 동치이다. ■
n=1 의 경우
- n=1은 congruent number 가 아니다
- 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 유리수해는 다음과 같다
\(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \) - 따라서 n=1은 congruent number 가 아니다
- 타원곡선 y^2=x^3-x 항목 참조
n=5인 경우
- 5는 congruent number 이다
- 세 변의 길이가 다음과 같은 직각삼각형을 만들 수 있다
- \(\frac{41}{6},\frac{20}{3},\frac{3}{2}\)
- 5는 가장 작은 congruent number이다
n=6인 경우
- 6은 congruent number이다
\(y^2=x^3-36x\)의 모든 정수해는\((x,y)= (0, 0), (\pm6, 0), (â3,\pm9), (â2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다. - 사각 피라미드 퍼즐 항목 참조
목록
- 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84 ...
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003273 참조
메모
역사
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/congruent_number
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Mock heegner points and congruent numbers
- Paul Monsky, Mathematische Zeitschrift, Volume 204, Number 1 / 1990년 12월
- [Tunnell1983]A classical diophantine problem and modular forms
- Tunnell, J.B., Invent. Math.72, 323–334 (1983)
- The Congruent Number Problem
- Ronald Alter, The American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 1 (Jan., 1980), pp. 43-45
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
관련도서
- History of the Theory of Numbers Volume II
- Leonard Eugene Dickson
- Chapter XVI
- Leonard Eugene Dickson
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)