"정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)"의 두 판 사이의 차이
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<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">판별식이 작은 경우의 기약형식 예</h5> | <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">판별식이 작은 경우의 기약형식 예</h5> | ||
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2009년 8월 13일 (목) 22:16 판
간단한 소개
- \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식
- 자연수를 두 개의 제곱의 합으로 표현하는 문제에서 체계적인 연구가 시작
기본용어
- 판별식
\(\Delta=b^2-4ac\) - 이차형식의 동치류
- 다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의
\(x \to x+y\) , \(y \to y\)
\(x \to x\), \(y \to x+y\)
행렬로 표현하면 각각 다음과 같으며 모듈라 군(modular group)을 생성함
\(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) - 즉 \(f(x,y)=g(ax+by,cx+dy)\) 인 정수 \(ad-bc= 1\) 가 존재하면, \(f\sim g\) 이라 함
- 다음 두 변환에 의한 이차형식은 모두 같은 동치류에 있다고 정의
- primitive 이차형식
\(a,b,c\) 가 서로소인 이차형식 \(ax^2+bxy+cy^2\)
중요한 문제들
- 주어진 이차형식이 표현할 수 있는 정수에 관한 문제
- 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 정수집합은 무엇인가?
- 예) \(x^2+ny^2\) 꼴로 표현될 수 있는 소수는 무엇인가?
- 주어진 판별식\(\Delta\) 를 갖는 이차형식의 동치류를 분류하는 문제
- \(\Delta=b^2-4ac\)를 만족시키는 모든 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
- 판별식이 \(\Delta\)인 primitive 이차형식의 동치류의 개수 \(h(\Delta)\)를 \(\Delta\)에 대한 class number 라 함
- \(\Delta=b^2-4ac\)를 만족시키는 모든 \(ax^2+bxy+cy^2\) 형태의 정수계수 다항식을 찾는 것
기약형식
- 주어진 이차형식이 있을때,
- 모듈라 군의 fundamental domain은 다음과 같다
\(R = \left\{ \tau \in H: \left| \tau \right| \geq 1,\, \left| \,\mbox{Re}(\tau) \,\right| \leq \frac{1}{2} \right\}\)
+ 경계조건 - 기약 형식
- 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
\(|b|\leq a \leq c\) and \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\)
- 양의 정부호 형식(positive definite) 인 경우에 다음 조건을 만족시키면 기약 형식이라 부름
- \(ax^2+bxy+cy^2=a(x+\tau y)(x+\bar{\tau} y)\), \(\mbox{Im}\, \tau >0\) 로 쓰면, 기약형식의 조건과 fundamental domain의 조건을 다음과 같이 이해할 수 있다
\(|b|\leq a \Leftrightarrow |\tau+\bar\tau|\leq 1 \Leftrightarrow |\mbox{Re}(\tau)| \leq \frac{1}{2}\)
\(a\leq c \Leftrightarrow \tau\bar\tau\geq 1\Leftrightarrow |\tau|\geq 1\)
fundamental domain의 경계조건은 \(b \geq 0\) if either \(|b|=a \) or \(a=c\) 로 옮겨짐
판별식이 작은 경우의 기약형식 예
- \(\Delta=b^2-4ac=-3\)
- \(x^2+xy+y^2\)
- \(\Delta=b^2-4ac=-4\)
- \(x^2+y^2\)
- \(\Delta=b^2-4ac=-7\)
- \(x^2+xy+2y^2\)
- \(\Delta=b^2-4ac=-8\)
- \(x^2+2y^2\)
- \(\Delta=b^2-4ac=-11\)
- \(x^2+xy+3y^2\)
- \(\Delta=b^2-4ac=-12\)
-
- \(x^2+3y^2\), \(2x^2+2xy+2y^2\) (이 경우는 primitive 가 아님)
-
- \(\Delta=b^2-4ac=-15\)
-
- \(x^2+xy+4y^2\), \(2x^2+xy+2y^2\)
-
- \(\Delta=b^2-4ac=-23\)
-
- \(x^2+xy+6y^2\), \(2x^2-xy+3y^2\), \(2x^2+xy+3y^2\)
- \(h(\Delta)=3\) 이 되는 첫번째 예
-
- \(\Delta=b^2-4ac=-163\)
- \(x^2+xy+41y^2\)
- \(h(\Delta)=1\) 이 되는 가장 큰 예
- 오일러의 소수생성다항식 x² +x+41 , 숫자 163 참조
가우스의 class number one 문제
- 기본판별식(fundamental discriminant)
- \(\Delta=\Delta_0f^2\) 의 형태로 쓸 수 없는 \(\Delta\) (\(\Delta_0\)는 적당한 판별식, \(f\)는 1보다 큰 정수)
- 이차 수체(quadratic number fields) 로부터 얻어지는 판별식임
- 가우스의 문제
- 기본판별식 \(\Delta<0\) 에 대하여 \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163\)
- 일반적으로는 다음과 같음
- \(h(\Delta)=1 \Leftrightarrow \Delta=-3,-4,-7,-8,-11,-12, -16,-19,-27,-28,-43,-67,-163\)
- 가우스의 class number one 문제 항목에서 자세히 다룸
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참고할만한 자료
- \(\Delta=b^2-4ac\), Introduction to integral binary quadratic forms
- J.P. Serre
- Math. Medley, Singapore Math.Soc. 13 (1985), 1-10
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_quadratic_form
- http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_problem
- http://mathworld.wolfram.com/ClassNumber.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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