가우스의 class number one 문제

수학노트
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개요

  • 복소 이차 수체 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-d})</math>의 유수(class number) 1인 경우, 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.
    • <math>d=1,2,3,7,11,19,43,67,163</math>



스케치

step 0

  • <math>h(\mathbb{Q}(\sqrt{-d}))=1</math> 이라고 가정하자
  • reduce to <math>d=p\equiv 3 \pmod 8</math>
  • <math>d\equiv 1,2 \pmod 4</math> 이면 <math>d=1,2</math>
  • <math>d\equiv 7 \pmod 8</math> 이면 <math>d=7</math>



리뷰 : 베버 모듈라 함수

<math>\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})</math>

<math>\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})</math>

<math>\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})</math>

<math>\gamma_2(\tau)=\sqrt[3]{j(\tau)}</math>



step 1

  • <math>d=p\equiv 3 \pmod 8</math> 를 가정하자
  • <math>\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2</math> 이면, <math>\gamma_2(\tau_0)\in \mathbb{Z}</math> 이다



step 2

<math>\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}+16}{\mathfrak{f}_2(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}</math>

<math>x^{24}-\gamma_2(\tau)x^8+16=0</math>

step 3

  • <math>d=p\equiv 3 \pmod 8</math>라 하자.
prop

<math>\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\in\mathbb{Q}(j(\sqrt{-p}))</math> generates a cubic extension of <math>\mathbb{Q}</math>.

증명

J-불변량과 모듈라 다항식에 의해 다음이 성립한다

<math>\Phi_2\bigl(j(2\tau),j(\tau)\bigr)=0</math>

여기서

<math>\Phi_2(x,y)=x^3+y^3-x^2 y^2+1488 (x^2 y + x y^2)-162000 (x^2+y^2) +40773375x y+8748000000 (x + y)-157464000000000</math>
  • <math>\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2</math>, <math>\alpha=\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2</math> 로 두자.
prop

<math>\alpha^4=-\mathfrak{f}_2(\tau_0)^8</math>는 <math>x^{3}-\gamma_2(\tau_0)x-16=0</math> 의 해이다

prop

<math>\alpha=2/\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2</math>이고, 따라서 <math>\alpha</math>는 3차 정수 계수 다항식 <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> 의 해이다

증명

다음의 성질을 이용하여, <math>\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2=2</math>를 보일 수 있다

  • <math>\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_ 1(\tau)</math>
  • <math>\mathfrak{f}_ 1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)</math>
  • <math>\mathfrak{f}_ 1(2\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2</math>

■

<math>y^2=2x(x^3+1)=2x^4+2x</math>

역사



관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들




관련된 항목들



관련도서



사전형태의 참고자료




리뷰논문, 에세이, 강의노트



관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'class'}, {'LOWER': 'number'}, {'LEMMA': 'problem'}]
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