"좌표계"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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굉장히 많은 좌표계가 존재한다. 대표적은 것들만 아래에 간략하게 다룸.
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굉장히 많은 좌표계가 존재한다. 대표적인 것들만 아래에 간략하게 다룸.
  
 
 
 
 
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<math>x = r \cos \theta</math>
 
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좌표계의 변환
 
좌표계의 변환
  
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r = \sqrt{x^2 + y^2}
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<math>\theta=\arctan{\frac{y}{x}}</math>
  
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\theta=\arctan{\frac{y}{x}} 여기서 \arctan{x} 는 \tan{x} 의 역함수
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 여기서 <math>\arctan{x}</math> 는 <math>\tan{x}</math> 의 역함수.
  
 
 
 
 
  
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넓이소 dA = dxdy = rdrd\theta
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넓이소 <math> dA = dxdy = rdrd\theta</math>
  
 
그림 설명/증명
 
그림 설명/증명
  
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<math>J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r.</math>
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<math>J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\  \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\  \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r</math>
  
 
<math>dA = J\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.</math>
 
<math>dA = J\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.</math>

2009년 11월 10일 (화) 04:11 판

간단한 소개

"어떻게 하면 점의 위치를 숫자로 표현할 수 있을까?" 에 대한 문제.

차원 수만큼의 숫자가 필요하다. 직선 위의 점은 하나의 수, 평면 위의 점은 두 개의 수, 공간 위의 점은 세 개의 수, ..., n 차원 공간 안의 점은 n 개의 수로 표현할 수 있다. 

 

르네 데카르트 "방법서설" 에 해석기하학에 대한 아이디어가 처음 등장.  (직교좌표계)

 

다양한 좌표계가 존재한다. 그때그때 상황에 맞는 좌표계를 선택하면 문제를 빨리 풀수 있는 경우가 많다. (특히 물리적 상황에서) 다양한 곡선의 방정식을 좀더 간단하고 아름답게 표현할 수 있기도 하다.

 

굉장히 많은 좌표계가 존재한다. 대표적인 것들만 아래에 간략하게 다룸.

 

평면좌표계

직교좌표계 (x, y) : 직교하는 두 축

극좌표계 (r, \theta) : 하나의 반직선(극선)

극선을 x 축의 양의 방향으로 했을 때

\(x = r \cos \theta\)

\(y = r \sin \theta\)

 

좌표계의 변환

\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)

\(\theta=\arctan{\frac{y}{x}}\)

 여기서 \(\arctan{x}\) 는 \(\tan{x}\) 의 역함수.

 

넓이소 \( dA = dxdy = rdrd\theta\)

그림 설명/증명

\(J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r\)

\(dA = J\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.\)

 

공간좌표계

직교좌표계 (x, y, z)

원통좌표계(r, theta, z)

구면좌표계(rho, theta, phi)

 

넓이소와 부피소에 대한 이야기

 

원통좌표계\[\mathrm dS= \rho\,d\varphi\,dz.\]

\(\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz.\)

 

구면좌표계 \[\mathrm{d}S=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\]

\(\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\)

 

예

원, 구의 부피 구하기

 

등등등

 

링크
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=좌표계&oldid=18558"