"좌표계"의 두 판 사이의 차이

2012년 3월 25일 (일) 08:53 판

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좌표계

간단한 소개

"어떻게 하면 점의 위치를 숫자로 표현할 수 있을까?" 에 대한 문제.

차원 수만큼의 숫자가 필요하다. 직선 위의 점은 하나의 수, 평면 위의 점은 두 개의 수, 공간 위의 점은 세 개의 수, ..., n 차원 공간 안의 점은 n 개의 수로 표현할 수 있다.

르네 데카르트 "방법서설" 에 해석기하학에 대한 아이디어가 처음 등장. (직교좌표계)

다양한 좌표계가 존재한다. 그때그때 상황에 맞는 좌표계를 선택하면 문제를 빨리 풀수 있는 경우가 많다. (특히 물리적 상황에서) 다양한 곡선의 방정식을 좀더 간단하고 아름답게 표현할 수 있기도 하다.

굉장히 많은 좌표계가 존재한다. 대표적인 것들만 아래에 간략하게 다룸.

평면좌표계

직교좌표계 (x, y) : 직교하는 두 축

극좌표계 (r, \theta) : 하나의 반직선(극선)

공간좌표계

직교좌표계 (x, y, z)

원통좌표계(r, theta, z)

구면좌표계(rho, theta, phi)

넓이소와 부피소에 대한 이야기

원통좌표계\[\mathrm dS= \rho\,d\varphi\,dz.\]

\(\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz.\)

구면좌표계 \[\mathrm{d}S=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\]

\(\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\)

예

원, 구의 부피 구하기

등등등

사전 형태의 자료

좌표계 http://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system
직교좌표계 http://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system
극좌표계 http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system
구면좌표계 http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinates
원통좌표계 http://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_coordinate_system
orthogonal coordinates 목록 http://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system#A_list_of_orthogonal_coordinate_systems

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOE96OXFfbmVTQ3lYckxYSXVldktGdw/edit?pli=1

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 직교좌표계 (x, y) : 직교하는 두 축
-[[search?q=%EA%B7%B9%EC%A2%8C%ED%91%9C%EA%B3%84&parent id=4594197|극좌표계]] (r, \theta) : 하나의 반직선(극선)
+[[극좌표계]] (r, \theta) : 하나의 반직선(극선)
-극선을 x 축의 양의 방향으로 했을 때
-<math>x = r \cos \theta</math>
-<math>y = r \sin \theta</math>
-좌표계의 변환
-<math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
-<math>\theta=\arctan{\frac{y}{x}}</math>
- 여기서 <math>\arctan{x}</math> 는 <math>\tan{x}</math> 의 역함수.
-넓이소 <math> dA = dxdy = rdrd\theta</math>
-. 그림으로 이해하기
-[/pages/4594197/attachments/2515177 cartesian.jpg]      [/pages/4594197/attachments/2515179 polar_copy.jpg]
-큰 그림은 [http://wiessen.tistory.com/442 여기]서 보자.
-그림에서 근사 기호가 아니라 등호가 사용된 데에 대해 의문을 가질 수도 있겠다. 하지만, 간격 <math>dr</math>, <math>d\theta</math> 가 굉장히 작아지면 이 오차는 의미가 없게 된다.
-. 야코비안
-<math>J = \det\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\begin{vmatrix}  \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\  \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}  \cos\theta & -r\sin\theta \\  \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r</math>
-<math>dA=J \,dr \,d\theta = r\,dr\,d\theta</math>
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 *  원통좌표계 http://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_coordinate_system<br>
 *  orthogonal coordinates 목록 http://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system#A_list_of_orthogonal_coordinate_systems<br>
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOE96OXFfbmVTQ3lYckxYSXVldktGdw/edit?pli=1 <br>
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
-** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=