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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
 
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* [[클라우센 함수(Clausen function)]]<br>
  
 
 
 
 
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
  
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*  클라우센 함수<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br>[[로그 사인 적분 (log sine integrals)]] 으로 일반화된다<br>  <br>
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*   <br> 클라우센 함수<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br>[[로그 사인 적분 (log sine integrals)]] 으로 일반화된다<br>  <br>
 
 
* [[로바체프스키 함수]] 와의 관계<br><math>Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)</math><br>
 
* [[로바체프스키 함수]] 와의 관계<br><math>Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)</math><br>
  
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* [[다이로그 함수(dilogarithm)|dilogarithm 함수]]는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨
 
* [[다이로그 함수(dilogarithm)|dilogarithm 함수]]는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨
 
* <math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math><br><math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속<br>
 
* <math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math><br><math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속<br>
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* <math>z=e^{2i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq \pi</math> 일 때,<br><math>\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}</math><br>
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* <math>z=e^{i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math> 일때<br><math>\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}</math><br><math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)</math><br>
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<math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math> 일때, <math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)</math>
 
  
 
 
 
 

2010년 7월 17일 (토) 19:44 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

개요

 

 

 

 

dilogarithm 함수와의 관계
  • dilogarithm 함수는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
  • \(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)
    \(|z|\leq 1\) 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
  • \(z=e^{i\theta}\), \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때
    \(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\)
    \(\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\)

 

 

 

special values

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

\(\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)\)

 

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