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*  정의<br><math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br>
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*  정의:<math>\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br>
  
 
* [[로그 사인 적분 (log sine integrals)]] 으로 일반화된다<br>
 
* [[로그 사인 적분 (log sine integrals)]] 으로 일반화된다<br>
* [[로바체프스키 함수]] 와의 관계<br><math>Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)</math><br>
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* [[로바체프스키 함수]] 와의 관계:<math>Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)</math><br>
  
 
 
 
 
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* 는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨
 
* 는 복소수 <math>|z|<1</math>에 대하여 다음과 같이 정의됨
* <math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math><br><math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속<br>
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* <math>\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}</math>:<math>|z|\leq 1</math> 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, <math>|z|\leq 1</math>에서 연속<br>
*   <br><math>z=e^{i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math> 일때<br><math>\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}</math><br><math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)</math>[[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)|블로흐-비그너 다이로그]]<br>
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*   :<math>z=e^{i\theta}</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math> 일때:<math>\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}</math>:<math>\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)</math>[[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)|블로흐-비그너 다이로그]]<br>
 
* [[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)]]<br>
 
* [[블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)]]<br>
  
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==트리감마 함수와 special values==
 
==트리감마 함수와 special values==
  
* <math>\theta=p\pi/q</math>일 때, (<math>p,q\in\mathbb{N}</math>, <math>p=1,2,\cdots,2q-1</math>)<br><math>\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}</math><br> 여기서 <math>\psi^{(1)}</math>는 [[트리감마 함수(trigamma function)]]<br>
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* <math>\theta=p\pi/q</math>일 때, (<math>p,q\in\mathbb{N}</math>, <math>p=1,2,\cdots,2q-1</math>):<math>\operatorname{Cl}_2(\frac{p\pi}{q})=\frac{1}{4q^2}\sum_{r=1}^{2q-1}\psi^{(1)}(\frac{r}{2q})\sin\frac{rp\pi}{q}</math><br> 여기서 <math>\psi^{(1)}</math>는 [[트리감마 함수(trigamma function)]]<br>
 
* <math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math>, <math>G</math>는 [[카탈란 상수]]<br>
 
* <math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{2})=G</math>, <math>G</math>는 [[카탈란 상수]]<br>
 
* <math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))</math><br>
 
* <math>\operatorname{Cl}_2(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{12}(\psi^{(1)}(\frac{1}{3})-\psi^{(1)}(\frac{2}{3}))</math><br>

2013년 1월 12일 (토) 10:44 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 정의\[\operatorname{Cl}_2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\]

 

 

 

dilogarithm 함수와의 관계

  • #
  • 는 복소수 \(|z|<1\)에 대하여 다음과 같이 정의됨
  • \(\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}\)\[|z|\leq 1\] 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, \(|z|\leq 1\)에서 연속
  •  \[z=e^{i\theta}\], \(0 \leq \theta \leq 2\pi\) 일때\[\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}\]\[\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)\]블로흐-비그너 다이로그
  • 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)

 

 

덧셈공식

\(\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{2k\pi}{n})\)

 

 

트리감마 함수와 special values

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

\(\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{Cl}_2(x)\,dx=\frac{2}{3}\zeta(3)\)

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 


 

 


 

 

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