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<h5>증명</h5>
 
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먼저 [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해, <math>e</math>는 초월수이다. 더 일반적으로 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다.
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먼저 <math>e</math>가 초월수임을 증명해보자. 더 일반적으로 0이 아닌 대수적수 <math>\alpha</math> 에 대하여, <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수임을 증명할 수 있다.
  
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we can argue that if α is a nonzero algebraic number, then {0, α} is a set of distinct algebraic numbers, and so the set {e<sup style="line-height: 1em;">0</sup>, e<sup style="line-height: 1em;">α</sup>} = {1, e<sup style="line-height: 1em;">α</sup>} is linearly independent over the algebraic numbers and in particular e<sup style="line-height: 1em;">α</sup> cannot be algebraic and so it is transcendental.
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 <math>\alpha</math>가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  [[린데만-바이어슈트라스 정리]] 에 의해 <math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math> 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 <math>e^{\alpha}</math> 는 초월수이다. 
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이제 <math>\pi</math>가 초월수임을 증명하자.  <math>\pi</math>가 만약 대수적수라면, 
  
 
 
 
 
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* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
 
* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
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<math>\{e^0, e^{\alpha}\}</math>

2009년 6월 16일 (화) 15:58 판

증명의 개요

 

 

증명

먼저 \(e\)가 초월수임을 증명해보자. 더 일반적으로 0이 아닌 대수적수 \(\alpha\) 에 대하여, \(e^{\alpha}\) 는 초월수임을 증명할 수 있다.

 \(\alpha\)가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \(\{e^0, e^{\alpha}\}\) 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 \(e^{\alpha}\) 는 초월수이다. 

이제 \(\pi\)가 초월수임을 증명하자.  \(\pi\)가 만약 대수적수라면, 

 

Now, we prove that π is transcendental. If π were algebraic, 2πi would be algebraic too (since 2i is algebraic), and then by the Lindemann–Weierstrass theorem e2πi = 1 (see Euler's formula) would be transcendental, which is absurd.

 

 

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