"판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)"의 두 판 사이의 차이
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타원곡선의 discriminant==
정의==
모듈라 성질==
무한곱 표현과 데데킨트 에타함수==
라마누잔의 타우 함수==
라마누잔의 추측==
Lehmer의 추측==
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
* [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]] | * [[판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)|판별식 (discriminant) 함수]] | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px;">타원곡선의 discriminant | + | <h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px;">타원곡선의 discriminant== |
* <math>\tau\in \mathbb H</math> 에 대응되는 타원곡선 <math>y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)</math> 의 판별식은 다음과 주어짐.<br><math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)</math><br> | * <math>\tau\in \mathbb H</math> 에 대응되는 타원곡선 <math>y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)</math> 의 판별식은 다음과 주어짐.<br><math>F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)</math><br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">정의 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">정의== |
* <math>\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots</math> 를 discriminant 함수의 정의로 함.<br> | * <math>\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots</math> 를 discriminant 함수의 정의로 함.<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">모듈라 성질 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">모듈라 성질== |
* 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨<br><math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math><br> | * 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨<br><math>\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)</math><br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">무한곱 표현과 데데킨트 에타함수 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">무한곱 표현과 데데킨트 에타함수== |
* [[데데킨트 에타함수]]<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math><br> 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,<br><math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math><br> | * [[데데킨트 에타함수]]<br><math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math><br> 의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,<br><math>\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots</math><br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">라마누잔의 타우 함수 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">라마누잔의 타우 함수== |
* discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,<br><math>\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n</math><br> | * discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,<br><math>\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n</math><br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">라마누잔의 추측 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">라마누잔의 추측== |
* <math>|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}</math><br> | * <math>|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}</math><br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">Lehmer의 추측 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">Lehmer의 추측== |
* 모든 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대하여 <math>\tau(n)\neq 0 </math>이다<br> | * 모든 <math>n\in \mathbb{N}</math>에 대하여 <math>\tau(n)\neq 0 </math>이다<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">메모 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">메모== |
* Hecke’s theory of Hecke operators<br> | * Hecke’s theory of Hecke operators<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들== |
* [[데데킨트 에타함수]]<br> | * [[데데킨트 에타함수]]<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료== |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문== |
* [http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-47-01436-1 The vanishing of Ramanujan’s τ(n)]<br> | * [http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-47-01436-1 The vanishing of Ramanujan’s τ(n)]<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 13:14 판
이 항목의 스프링노트 원문주소==
타원곡선의 discriminant==
- \(\tau\in \mathbb H\) 에 대응되는 타원곡선 \(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3(\tau)\) 의 판별식은 다음과 주어짐.
\(F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)\)
- 정의에 따라 \(F\)는 weight 12인 모듈라 형식이 됨.
- 또한 cusp 형식이 됨.
\(g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}\), \(g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}\) 이므로,
\(F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\)
- 이 함수의 \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개는
\(g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)\) 로 주어짐.
- \(g_2, g_3\)에 대해서는 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series) 항목을 참조
\(F(\tau)=g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)\)
\(g_2(i\infty)=\frac{4\pi^4}{3}\), \(g_3(i\infty)=\frac{8\pi^6}{27}\) 이므로,
\(F(i\infty)=(\frac{4\pi^4}{3})^3-27(\frac{8\pi^6}{27})^2=0\)
\(g_2(\tau)^3-27g_3^2(\tau)=(2\pi)^{12}(q-24q+\cdots)\) 로 주어짐.
정의==
- \(\Delta(\tau)=\frac{F(\tau)}{(2\pi)^{12}}= q-24q+252q^2\cdots\) 를 discriminant 함수의 정의로 함.
- \(\Delta(\tau)=\frac{1}{1728}(E_4^3-E_6^2)\) 로 표현가능
모듈라 성질==
- 위에서 이미 언급했듯이, weight 12인 모듈라 형식이 됨
\(\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\)
\(\Delta \left( \frac {a\tau+b} {c\tau+d}\right) = \left(c\tau+d\right)^{12} \Delta(\tau)\)
무한곱 표현과 데데킨트 에타함수==
- 데데킨트 에타함수
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,
\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)
\(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\)
의 24승으로 주어지는 함수는 weight 12인 cusp 형식이 되므로, discriminant 함수와 같게 됨. 즉,
\(\Delta(\tau)=\eta(\tau)^{24}= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=q-24q+252q^2+\cdots\)
라마누잔의 타우 함수==
- discriminant 함수의 푸리에 급수에 등장하는 계수를 라마누잔의 타우함수로 정의함. 즉,
\(\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\)
\(\Delta(\tau)=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= \sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n\)
라마누잔의 추측==
- \(|\tau(p)| \leq 2p^{11/2}\)
- 1974년 Deligne이 Weil추측을 증명함으로써 해결됨
Lehmer의 추측==
- 모든 \(n\in \mathbb{N}\)에 대하여 \(\tau(n)\neq 0 \)이다
- http://mathoverflow.net/questions/31058/the-vanishing-of-ramanujans-function-taun
- 미해결
메모==
- Hecke’s theory of Hecke operators
- Serre’s theory of modular l-adic Galois representations
- Ramanujan-Petersson Conjectures
관련된 항목들==
사전 형태의 자료==
관련논문==
- The vanishing of Ramanujan’s τ(n)
- Lehmer, D.H.Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)
- Lehmer, D.H.Duke Math. J. 14, 429–433 (1947)