패리 수열(Farey series)

간단한 소개

• Fn 은 0부터 1사이의 기약분수중에서, 분모가 n이하인 녀석들의 집합
  
  • F1 = {0⁄1, 1⁄1}
  • F2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1}
  • F3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1}
  • F4 = {0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1}
  • F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1}
  • F6 = {0⁄1, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 1⁄1}   
  • F7 = {0⁄1, 1⁄7, 1⁄6, 1/5, 1/4, 2/7, 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 1⁄1}

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• 두 분수에 대해 '초딩들의 꿈의 분수덧셈'을 다음과 같이 정의하면,
  \(\frac{a}{b}\oplus\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)
  

• 주어진 order의 Farey series에 등장하는 연속된 세 수를 보면, 가운데 수는 언제나 그 옆에 있는 두 수의 ‘초딩들의 꿈의 분수덧셈’을 통해서 얻어지는 것을 관찰할 수 있다.
  
  • 이 관찰의 증명은 맨 아래의 '참고할만한 자료'에서 찾을 수 있음

관련된 단원

• 정수
  
  • 약수와 배수
  • 서로소

 

관련된 다른 주제들

• 픽의 정리
• Ford Circles

 

 

 

관련된 대학 수학

• 초등정수론
• 추상대수학
  
  • 유한체 - Freshman's dream
• The modular group, j-invariant and the singular moduli
  
  • modular group

 

블로그

• 초딩들의 꿈 - Farey Series (피타고라스의 창)

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• 오늘의 퀴즈 : Farey series의 크기
  
  • 피타고라스의 창, 2008-7-28