"펠 방정식(Pell's equation)"의 두 판 사이의 차이

2010년 8월 21일 (토) 18:21 판

\(\sqrt{d}\) 를 연분수 전개할때 얻어지는 convergents \({h_i}/{k_i}\) 가 펠방정식의 해가 되는 \(x=h_i, y=k_i\) 를 찾을 수 있으며, 이 때 \(x\)값을 가장 작게 하는 해를 fundamental solution 이라 함.
연분수와 유리수 근사 에서 펠 방정식에 관련한 중요한 정리는 다음과 같다

무리수 \(\alpha\)에 대하여, 유리수 \(p/q\)가 아래의 부등식을 만족시키는 경우, \(p/q\)는 무리수 \(\alpha\)의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다

\(|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{2{q^2}}\)

펠방정식의 정수해 \(x_{1}^2-dy_{1}^2=1\) 는 \(x_{1}^2-dy_{1}^2=(x_{1}+\sqrt{d}y_{1})(x_{1}-\sqrt{d}y_{1})=1\)를 만족시키며,
\(|x_{1}-\sqrt{d}y_{1}|=1/|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}|\)
\(|x_{1}-\sqrt{d}y_{1}|=1/|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}|\)

연분수 전개를 통한 유리수근사
\(\frac{2}{1},\frac{3}{1},\frac{5}{2},\frac{8}{3},\frac{37}{14}\cdots\)
펠방정식의 해 찾기
\(2^2-d\cdot 1^2=-3\)
\(3^2-d\cdot 1^2=2\)
\(5^2-d\cdot 2^2=-3\)
\(8^2-d\cdot 3^2=1\)
\(37^2-d\cdot 14^2=-3\)
따라서 펠방정식 \(x^2-7y^2=1\)의 fundamental solution 은 \((8,3)\) 이된다

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 * <math>\sqrt{d}</math> 를 [[연분수와 유리수 근사|연분수]] 전개할때 얻어지는 convergents <math>{h_i}/{k_i}</math> 가 펠방정식의 해가 되는 <math>x=h_i, y=k_i</math> 를 찾을 수 있으며, 이 때  <math>x</math>값을 가장 작게 하는 해를 fundamental solution 이라 함.
+* [[연분수와 유리수 근사]] 에서 펠 방정식에 관련한 중요한 정리는 다음과 같다
 * 무리수 <math>\alpha</math>에 대하여, 유리수 <math>p/q</math>가 아래의 부등식을 만족시키는 경우,  <math>p/q</math>는 무리수 <math>\alpha</math>의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다
 <math>|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{2{q^2}}</math>
+*  펠방정식의 정수해 <math>x_{1}^2-dy_{1}^2=1</math> 는  <math>x_{1}^2-dy_{1}^2=(x_{1}+\sqrt{d}y_{1})(x_{1}-\sqrt{d}y_{1})=1</math>를 만족시키며,<br><math>|x_{1}-\sqrt{d}y_{1}|=1/|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}|</math><br><math>|x_{1}-\sqrt{d}y_{1}|=1/|x_{1}+\sqrt{d}y_{1}|</math><br>
-* [[연분수와 유리수 근사]]